Ecuaciones exponenciales y logarítmicas pdf
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Ahora, tenemos que obtener la \ ~ (z\) del exponente para que podamos resolver para él. Para ello utilizaremos la propiedad anterior. Como tenemos una e en la ecuación usaremos el logaritmo natural. Primero tomamos el logaritmo de ambos lados y luego usamos la propiedad para simplificar la ecuación.
\N – 3z & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\z & = – 1 + \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)z & = – \frac{1}{3}left( { – 1 + \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)} \right) = 0. 8698126372\end{align*}\]
Ahora, en este caso parece que el mejor logaritmo a utilizar es el logaritmo común ya que el lado izquierdo tiene una base de 10. No hay que hacer ninguna simplificación inicial, así que sólo hay que tomar el logaritmo de ambos lados y simplificar.
Práctica de ecuaciones exponenciales y logarítmicas
En esta sección examinamos las funciones exponenciales y logarítmicas. Utilizamos las propiedades de estas funciones para resolver ecuaciones que implican términos exponenciales o logarítmicos, y estudiamos el significado y la importancia del número e.e. También definimos las funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, que implican combinaciones de funciones exponenciales y logarítmicas. (Observe que presentamos definiciones alternativas de las funciones exponenciales y logarítmicas en el capítulo Aplicaciones de las integraciones, y demostramos que las funciones tienen las mismas propiedades con cualquiera de las dos definiciones).
que es una función exponencial. De forma más general, cualquier función de la forma f(x)=bx,f(x)=bx, donde b>0,b≠1,b>0,b≠1, es una función exponencial con base bb y exponente x. Las funciones exponenciales tienen bases constantes y exponentes variables. Observa que una función de la forma f(x)=xbf(x)=xb para alguna constante bb no es una función exponencial sino una función potencia.
Para ver la diferencia entre una función exponencial y una función potencia, comparamos las funciones y=x2y=x2 e y=2x.y=2x. En la tabla 1.10, vemos que tanto 2x2x como x2x2 se acercan al infinito a medida que x→∞.x→∞. Eventualmente, sin embargo, 2x2x se hace más grande que x2x2 y crece más rápidamente a medida que x→∞.x→∞. En sentido contrario, a medida que x→-∞,x2→∞,x→-∞,x2→∞, mientras que 2x→0.2x→0. La recta y=0y=0 es una asíntota horizontal para y=2x.y=2x.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas academia khan
En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó 24 conejos en la naturaleza para su caza. Como Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones.
El crecimiento incontrolado de la población, como el de los conejos salvajes en Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección aprenderemos técnicas para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
La primera técnica que introduciremos para resolver ecuaciones exponenciales implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad uno a uno de las funciones exponenciales nos dice que, para cualquier número real b, S y T, donde [latex]b>0,\text{ }b\ne 1[/latex], [latex]{b}^{S}={b}^{T}[/latex] si y sólo si S = T.
En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deben ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales utilizando las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son uno-a-uno para establecer los exponentes iguales entre sí y resolver la incógnita.
Ejemplos de ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Una ecuación exponencialUna ecuación que incluye una variable como exponente. es una ecuación que incluye una variable como uno de sus exponentes. En esta sección describimos dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. En primer lugar, recordemos que las funciones exponenciales definidas por f(x)=bx, donde b>0 y b≠1, son uno a uno; cada valor en el rango corresponde exactamente a un elemento en el dominio. Por lo tanto, f(x)=f(y) implica x=y. Lo contrario es cierto porque f es una función. Esto nos lleva a la importantísima propiedad uno a uno de las funciones exponencialesDado b>0 y b≠1 tenemos bx=by si y sólo si x=y.:
Para resolver esto hacemos uso del hecho de que los logaritmos son funciones uno a uno. Dados x,y>0 la propiedad uno a uno de los logaritmosDado b>0 y b≠1 donde x,y>0 tenemos logb x=logb y si y sólo si x=y. se sigue:
Esta propiedad, así como las propiedades del logaritmo, nos permite resolver ecuaciones exponenciales. Por ejemplo, para resolver 3x=12 aplicamos el logaritmo común a ambos lados y luego utilizamos las propiedades del logaritmo para aislar la variable.