Formulario de parámetros de línea
0,-, donde ≠0.Sea cual sea la forma de la ecuación, los dos datos clave que definen una recta son su vector de dirección y uno de sus puntos. Veamos cómo funciona el razonamiento en 2D antes de pasar a las tres dimensiones (3D).Si tenemos una recta de vector dirección ⃑=(1,)
las coordenadas del punto cuando =0.Este conjunto de tres ecuaciones se llama las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio. Como hay infinitos puntos que se encuentran en la recta y cualquier vector
+∞, no hay ninguna limitación), y todas ellas definen inequívocamente la misma recta.Definición: Ecuaciones paramétricas de una recta en el espacioLas ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio son un conjunto no único de tres ecuaciones de la forma
número real (el parámetro) que varía de -∞ a +∞.Veamos el primer ejemplo.Ejemplo 1: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dado un punto y su vector de direcciónDar la ecuación paramétrica de la recta en el punto (2,-4,4),
=3+,=-5-,=9+5.Hallemos ahora las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos dados.Ejemplo 2: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dados dos puntosEscribimos la ecuación de la recta que pasa por los puntos
Ecuación simétrica de una línea en 3d
El conjunto de puntos \((x,y,z)\Nque obedecen a \N(x+y+z=2\N) forman un plano. El conjunto de puntos ((x,y,z)\Nque obedecen a \N(x-y=0\N) forman un segundo plano. El conjunto de puntos \((x,y,z)\Nque obedecen tanto a \N(x+y+z=2\N) como a \N(x-y=0\N) se encuentran en la intersección de estos dos planos y por tanto forman una recta. Vamos a encontrar las ecuaciones paramétricas de esa recta.
Para dibujar \(x+y+z=2\) observamos que si dos de \(x,y,z\) son cero, entonces el tercero es \(2\text{.}) Así que todo \((0,0,2)\text{.}) \El plano \((0,2,0)\Ncontiene todo el eje \Nde la z, ya que \N(0,0,z)\Nobedece a \N(x+y+z=2\Ntexto{.}) para toda \Nla z. Aquí están los bocetos separados de (partes de) los dos planos.
Método 1. Cada punto de la recta tiene un valor diferente de \(z\text{.}\} Utilizaremos \(z\) como parámetro. (También podríamos utilizar \(x\) o \(y\text{.}\}) No hay ninguna ley que nos obliga a utilizar el nombre del parámetro \(t\text{,}\) pero eso es lo que hemos hecho hasta ahora, por lo que establecer \(t=z\text{.}\) Si \((x,y,z)\Nestá en la línea entonces \(z=t\) y
Ecuación paramétrica de una línea
Para empezar, consideremos el caso \(n=1\) por lo que tenemos \(\mathbb{R}^{1}=\mathbb{R}\). Aquí sólo hay una recta que es la conocida recta numérica, es decir, \(\mathbb{R}\) misma. Por lo tanto, no es necesario explorar el caso de \(n=1\) más.
Consideremos ahora el caso en que \(n=2\), es decir \(\mathbb{R}^2\). Sean \(P\) y \(P_0\) dos puntos diferentes en \(\mathbb{R}^{2}\) que están contenidos en una línea \(L\). Sean \(\vec{p}\) y \(\vec{p_0}\) los vectores de posición de los puntos \(P\) y \(P_0\) respectivamente. Supongamos que \(Q\) es un punto arbitrario en \(L\). Consideremos el siguiente diagrama.
Nuestro objetivo es poder definir \(Q\) en términos de \(P\) y \(P_0\). Consideremos el vector (\overrightarrow{P_0P} = \vec{p} – \vec{p_0}\) que tiene su cola en \(P_0\) y punto en \(P\). Si sumamos \(\vec{p} – \vec{p_0}) al vector de posición \(\vec{p_0}) para \(P_0), la suma sería un vector con su punto en \(P\). En otras palabras, \[\vec{p} = \vec{p_0} + (\vec{p} – \vec{p_0})\numérico \].
Ecuación cartesiana a ecuación paramétrica
Ya estamos familiarizados con la escritura de ecuaciones que describen una recta en dos dimensiones. Para escribir una ecuación de una recta, debemos conocer dos puntos de la misma, o bien conocer la dirección de la recta y al menos un punto por el que pasa la recta. En dos dimensiones, utilizamos el concepto de pendiente para describir la orientación, o dirección, de una recta. En tres dimensiones, describimos la dirección de una recta mediante un vector paralelo a la misma. En esta sección examinaremos cómo utilizar las ecuaciones para describir líneas y planos en el espacio.
Exploremos primero lo que significa que dos vectores sean paralelos. Recordemos que los vectores paralelos deben tener direcciones iguales u opuestas. Si dos vectores distintos de cero, y son paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, tal que Si y tienen la misma dirección, simplemente elija Si y tienen direcciones opuestas, elija Tenga en cuenta que la inversa también es válida. Si para algún escalar entonces o bien y tienen la misma dirección o direcciones opuestas por lo que y son paralelos. Por lo tanto, dos vectores distintos de cero y son paralelos si y sólo si para algún escalar Por convención, se considera que el vector cero es paralelo a todos los vectores.