Métodos de estimación de parámetros
En matemáticas, una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros[1]. Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que componen un objeto geométrico, como una curva o una superficie, en cuyo caso las ecuaciones se llaman colectivamente una representación paramétrica o parametrización (alternativamente deletreada como parametrización) del objeto[1][2][3].
forman una representación paramétrica del círculo unitario, donde t es el parámetro: Un punto (x, y) está en el círculo unitario si y sólo si hay un valor de t tal que estas dos ecuaciones generan ese punto. A veces las ecuaciones paramétricas para las variables escalares de salida individuales se combinan en una única ecuación paramétrica en vectores:
Además de las curvas y superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir colectores y variedades algebraicas de mayor dimensión, siendo el número de parámetros igual a la dimensión del colector o variedad, y el número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera el colector o variedad (para las curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para las superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).
Diseño paramétrico
En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficos. En el sistema de coordenadas bidimensional, las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones. El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto \(x\) como \(y\), y a medida que el parámetro aumenta, los valores de \(x\) y \(y\) trazan una trayectoria a lo largo de una curva plana. Por ejemplo, si el parámetro es \(t\) (una elección común), entonces \(t\) podría representar el tiempo. Entonces, \(x\) y \(y\) se definen como funciones del tiempo, y \((x(t),y(t))\Npuede describir la posición en el plano de un objeto dado mientras se mueve a lo largo de una trayectoria curva.
Consideremos la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365,25 días, pero para esta discusión utilizaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la situación física de la Tierra con respecto al Sol es prácticamente la misma, excepto en los años bisiestos, en los que el desfase introducido por el día extra \frac{1}{4}\ de tiempo de la órbita se incorpora al calendario. Llamamos al 1 de enero “día 1” del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente.
Encontrar ecuaciones paramétricas
Consideremos la trayectoria que sigue una luna al orbitar un planeta, que gira simultáneamente alrededor del sol, como se ve en la (Figura). En todo momento, la luna se encuentra en un punto determinado con respecto al planeta. Pero, ¿cómo escribimos y resolvemos la ecuación para la posición de la luna cuando la distancia al planeta, la velocidad de la órbita de la luna alrededor del planeta y la velocidad de rotación alrededor del sol son todas incógnitas? Sólo podemos resolver una variable a la vez.
En esta sección, consideraremos conjuntos de ecuaciones dadas por y donde está la variable independiente del tiempo. Podemos utilizar estas ecuaciones paramétricas en una serie de aplicaciones cuando buscamos no sólo una posición particular sino también la dirección del movimiento. A medida que trazamos los valores sucesivos de la orientación de la curva se hace evidente. Esta es una de las principales ventajas de utilizar ecuaciones paramétricas: podemos trazar el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria en función del tiempo. Comenzamos esta sección con un vistazo a los componentes básicos de las ecuaciones paramétricas y lo que significa parametrizar una curva. Luego aprenderemos a eliminar el parámetro, a traducir las ecuaciones de una curva definida paramétricamente en ecuaciones rectangulares y a encontrar las ecuaciones paramétricas de las curvas definidas por ecuaciones rectangulares.
Superficie paramétrica
En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficas. En el sistema de coordenadas bidimensional, las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones. El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto \(x\) como \(y\), y a medida que el parámetro aumenta, los valores de \(x\) y \(y\) trazan una trayectoria a lo largo de una curva plana. Por ejemplo, si el parámetro es \(t\) (una elección común), entonces \(t\) podría representar el tiempo. Entonces, \(x\) y \(y\) se definen como funciones del tiempo, y \((x(t),y(t))\Npuede describir la posición en el plano de un objeto dado mientras se mueve a lo largo de una trayectoria curva.
Consideremos la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365,25 días, pero para esta discusión utilizaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la situación física de la Tierra con respecto al Sol es prácticamente la misma, excepto en los años bisiestos, en los que el desfase introducido por el día extra \frac{1}{4}\ de tiempo de la órbita se incorpora al calendario. Llamamos al 1 de enero “día 1” del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente.