Eliminación gaussiana python
El método de eliminación de Gauss, también llamado método de reducción de filas, es un algoritmo utilizado para resolver un sistema de ecuaciones lineales con una matriz. El método de eliminación de Gauss consiste en expresar un sistema lineal en forma de matriz y aplicar operaciones elementales de fila a la matriz para encontrar el valor de las incógnitas.
Sin embargo, para entender cómo funciona la eliminación de Gauss, primero debemos saber cómo expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y qué operaciones de fila se pueden calcular. Por lo tanto, explicaremos primero estas dos cosas y luego veremos cómo aplicar el método de eliminación de Gauss.
En álgebra lineal, un sistema de ecuaciones puede expresarse en forma matricial: los coeficientes de la incógnita x corresponden a la primera columna de la matriz, los coeficientes de la incógnita y a la segunda columna, los coeficientes de la incógnita z a la tercera columna y las constantes a la cuarta columna.
Por ejemplo, el número -1, que es el primer elemento de la segunda fila, es el negativo de 1, el primer elemento de la primera fila. Por tanto, si sumamos la primera fila a la segunda, el -1 se eliminará:
Calculadora de Gauss-Jordan
Obtenga el máximo viendo este tema en su grado actual. Elige tu curso ahora. IntroducciónLecciones Ahora que hemos aprendido a representar un sistema lineal como una matriz, ¡podemos resolver esta matriz para resolver el sistema lineal! Utilizamos un método llamado “eliminación gaussiana”. Este método implica muchas operaciones con filas de la matriz. Nuestro objetivo es hacer que todas las entradas de la parte inferior izquierda de la matriz sean 0. Una vez hecho esto, echamos un vistazo a la última fila y la convertimos en un sistema lineal. A continuación, resolvemos la variable. Luego miramos la penúltima fila, la convertimos en un sistema lineal y resolvemos para la otra variable. Repite la operación y encontrarás todas las variables que resuelven el sistema lineal Resolver un sistema lineal con matrices utilizando la eliminación de Gauss
Después de unas cuantas lecciones en las que hemos mencionado repetidamente que estamos cubriendo los fundamentos necesarios para aprender después a resolver sistemas de ecuaciones lineales, ha llegado el momento de que nuestra lección se centre en la metodología completa a seguir para encontrar las soluciones de dichos sistemas.
Eliminación gaussiana en Mathematica
Carl Friedrich Gauss vivió entre finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, pero todavía se le considera uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus contribuciones a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de las matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos últimos siglos.
Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y éstas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.
Observe que la matriz se escribe de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: \Los términos de x van en la primera columna, los de y en la segunda y los de z en la tercera. Es muy importante que cada ecuación se escriba en la forma estándar \(ax+by+cz=d\) para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es \(0\).
Ejemplos de eliminación gaussiana 3×3
Encontrar el conjunto de todas las soluciones es resolver el sistema. Para resolver un sistema lineal no se necesitan conjeturas ni buena suerte. Hay un algoritmo que siempre funciona. El siguiente ejemplo presenta ese algoritmo, llamado método de Gauss. Transforma el sistema, paso a paso, en uno con una forma que se resuelve fácilmente.
La mayor parte de esta subsección y la siguiente consisten en ejemplos de resolución de sistemas lineales por el método de Gauss. Lo utilizaremos a lo largo de este libro. Es rápido y fácil. Pero, antes de llegar a esos ejemplos, mostraremos primero que este método también es seguro en el sentido de que nunca pierde soluciones ni recoge soluciones extrañas.
se escriben como una sola operación). En este segundo sistema, las dos últimas ecuaciones implican sólo dos incógnitas. Para terminar, transformamos el segundo sistema en un tercer sistema, en el que la última ecuación implica sólo una incógnita. Esta transformación utiliza la segunda fila para eliminar
{\displaystyle {\begin{array}{*{3}{rc}r}2sin \alpha &-&cos \beta &+&3\tan \gamma &=&3\4sin \alpha &+&2\cos \beta &- &2\tan \gamma &=&10\\6\sin \alpha &-&3\cos \beta &+&\tan \gamma &=&9end{array}}