Solucionador de ecuaciones Trig
Tales de Mileto (circa 625-547 a.C.) es conocido como el fundador de la geometría. La leyenda dice que calculó la altura de la Gran Pirámide de Giza en Egipto utilizando la teoría de los triángulos semejantes, que desarrolló midiendo la sombra de su bastón. Basada en las proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en varios ámbitos, como la geometría fractal, la ingeniería y la arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran utilizando triángulos semejantes.
En secciones anteriores de este capítulo, hemos visto las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores del dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de las ecuaciones trigonométricas para estudiar escenarios del mundo real, como la búsqueda de las dimensiones de las pirámides.
Las ecuaciones trigonométricas son, como su nombre indica, ecuaciones que implican funciones trigonométricas. Son similares, en muchos aspectos, a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, pero sólo se encontrarán soluciones a determinados valores de la variable, si es que hay soluciones. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo específico. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que encontremos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener un número infinito de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que considerar el dominio de la función antes de suponer que cualquier solución es válida. El período de la función seno y de la función coseno es
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas
\N – [a\Nsin x + b\cos x = \Nsqrt {{a^2}} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \varphi + \cos x\sin \varphi } \right) = \sqrt {{a^2}} + {b^2}} R\sin \left( {x + \varphi } \right) = R\sin \left( {x + \varphi } \right),\]
\[a\Nsin x – b\Ncos x = \Nsqrt {{a^2}} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \varphi – \cos x\sin \varphi } \right) = \sqrt {{a^2}} + {b^2}} R\sin \left( {x – \varphi } \right) = R\sin \left( {x – \varphi } \right).\N-El resultado es que]
\N – [2\Nsin \Nizquierda( {x + \frac{pi} {3} \Nderecha) = \sqrt 2 , \N – Flecha derecha \Nsin \Nizquierda( {x + \frac{pi} {3} \Nderecha) = \frac{{qrt 2} {2}, \Flecha derecha x + \frac {\pi }{3} = {\left( { – 1} \right)^n}\frac {\pi }{4} + \pi n, \Rightarrow x = {\left( { – 1} \right)^n}\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{3} + \pi n,\\Nen \mathbb{Z}.\N-[\N-]
\[\frac{2t}{1 + {t^2}} + \frac{1 – {t^2}}{1 + {t^2}} = 1, \frac{2t + 1 – {t^2}}{1 + {t^2}} = 1, \frac{2t + \cancel{1} – {t^2} = {cancel{1} + {t^2}, \Rightarrow 2{t^2} – 2t = 0, \Rightarrow 2t\left( {t – 1} \right) = 0, \Rightarrow {t_{1,2}} = 0,1.\]
Resolver una ecuación trigonométrica básica con seno o coseno
La resolución de ecuaciones trigonométricas utiliza los ángulos de referencia y las identidades trigonométricas que has memorizado, junto con gran parte del álgebra que has aprendido. Prepárate para tener que pensar para resolver estas ecuaciones.
En lo que sigue, se supone que tienes un buen conocimiento de los valores de las razones trigonométricas en el primer cuadrante, de cómo funciona el círculo unitario, de la relación entre radianes y grados, y de cómo son las curvas de las distintas funciones trigonométricas, al menos en el primer periodo. Si no estás seguro, vuelve a repasar esos temas primero.
Nota: Las instrucciones me dieron el intervalo en términos de grados, lo que significa que se supone que debo dar mi respuesta en grados. Sí, el seno, en el primer periodo, toma el valor de 1 en π/2 radianes, pero ese no es el tipo de medida de ángulo que quieren, y usar esto como mi respuesta probablemente me haría perder al menos unos cuantos puntos en esta pregunta.
Existe la tentación de recordar rápidamente que la tangente de 60° implica la raíz cuadrada de 3 y dar una respuesta, pero esta ecuación no tiene solución. Esto lo veo cuando voy más despacio y hago los pasos. Mi primer paso es:
Resolución de ecuaciones trigonométricas con factorización
=+360=180-+360,∈ℤ.ydondeSi bien podemos sentirnos inclinados a memorizar estas fórmulas, en la práctica, puede ser mucho más efectivo dibujar la gráfica de la función seno o el círculo unitario para ayudarnos a deducir el conjunto de soluciones de una ecuación que involucra la función seno. Vamos a demostrarlo en nuestro siguiente ejemplo.Ejemplo 2: Encontrar las soluciones a una ecuación trigonométrica en un rango especificadoEncuentra el conjunto de valores que satisfacen 4-1=0sin, donde 90≤≤360∘∘.Respuesta Para resolver esta sencilla ecuación trigonométrica, empezamos reordenando para que la función seno sea el sujeto:
4-1=04=1=14.sinsinCuidado con la siguiente etapa de cálculos. Debemos tomar las raíces cuadradas positivas y negativas de 14. Esto tendrá el efecto de crear un par de ecuaciones en términos de sin:
sinorsinorsin=14=-14,=12=-12.Observa que también podríamos haber optado por factorizar la expresión 4-1sin como (2-1)(2+1)sinsin y luego resolver la ecuación (2-1)(2+1)=0sinsin para obtener el mismo resultado.A continuación, para resolver la primera ecuación, recordamos los valores exactos de sin, donde se mide en grados, de la siguiente manera.0 ∘30∘45∘60∘90∘sin012√22√321Por tanto, una solución de la ecuación sin=12 es =30∘. Observa que esto está fuera del intervalo especificado 90≤≤360∘∘, así que consideraremos la simetría del círculo unitario para encontrar más soluciones.Podemos ver que la única solución en el intervalo dado es =180-30=150∘.Ahora, resolveremos la segunda ecuación utilizando, una vez más, la simetría del círculo unitario. Como sen= para todo y el valor de es negativo en los cuadrantes 3 y 4, añadimos aquí triángulos rectos como se muestra.Por tanto, las dos siguientes soluciones son =180+30=210∘ y