Encontrar soluciones en un intervalo para una ecuación trigonométrica
Tales de Mileto (circa 625-547 a.C.) es conocido como el fundador de la geometría. La leyenda dice que calculó la altura de la Gran Pirámide de Giza en Egipto utilizando la teoría de los triángulos semejantes, que desarrolló midiendo la sombra de su bastón. Basada en las proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en diversos ámbitos, como la geometría fractal, la ingeniería y la arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran utilizando triángulos semejantes.
En secciones anteriores de este capítulo, hemos visto las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores del dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de las ecuaciones trigonométricas para estudiar escenarios del mundo real, como la búsqueda de las dimensiones de las pirámides.
Las ecuaciones trigonométricas son, como su nombre indica, ecuaciones que implican funciones trigonométricas. Son similares en muchos aspectos a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, pero sólo se encontrarán soluciones a determinados valores de la variable, si es que hay soluciones. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo específico. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que encontremos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener un número infinito de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que considerar el dominio de la función antes de suponer que cualquier solución es válida. El período de la función seno y de la función coseno es
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas
En el fútbol americano, el quarterback intenta lanzar el balón a un receptor. La ecuación para modelar esto es \(R = \frac{v^2 \sin 2θ}{32}\) donde R es la distancia en pies, v es la velocidad con que se lanza el balón en pies/segundo, y θ es el ángulo sobre la horizontal con que se lanza el balón. Si se conoce la distancia al receptor y la velocidad del lanzamiento, entonces se puede calcular el ángulo que tiene el quarterback para lanzar la pelota.
Una vez aislada la expresión trigonométrica, encuentra los ángulos que satisfacen la expresión trigonométrica. Recuerda que cada función trigonométrica es positiva en dos cuadrantes y negativa en dos cuadrantes, por lo que suele haber al menos dos soluciones para cada ecuación trigonométrica. Como las funciones trigonométricas son periódicas, hay un número infinito de soluciones que se pueden encontrar sumando el período de la función.
Como sólo se piden soluciones entre 0 y 2π, las soluciones se pueden encontrar introduciendo números enteros para n empezando por 0 hasta que los resultados sean 2π o mayores. Esto da soluciones de \(β = \frac{π}{3}, \frac{2π}{3}, \frac{4π}{3}, \frac{5π}{3}).
Hoja de trabajo de resolución de ecuaciones trigonométricas
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
De la inspección rápida podemos ver que \ ~ (t = \ ~ frac {\pi } { 6}\) es una solución. Sin embargo, como hemos demostrado en el círculo unitario hay otro ángulo que también será una solución. Tenemos que determinar cuál es este ángulo. Cuando buscamos estos ángulos normalmente queremos ángulos positivos que se encuentran entre 0 y \ (2\pi \). Este ángulo no será la única posibilidad, por supuesto, pero normalmente buscamos ángulos que cumplan estas condiciones.
Para encontrar este ángulo para este problema todo lo que tenemos que hacer es utilizar un poco de geometría. El ángulo en el primer cuadrante hace un ángulo de \ {frac{\pi }{6}} con el eje positivo \ {x}, entonces también debe el ángulo en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, tenemos dos opciones. Podríamos utilizar \ ( – \frac{\pi }{6}\), pero de nuevo, es más común utilizar los ángulos positivos. Para obtener un ángulo positivo todo lo que tenemos que hacer es utilizar el hecho de que el ángulo es \(\frac{\pi }{6}\ con el positivo \(x\)-eje (como se señaló anteriormente) y un ángulo positivo será \(t = 2\pi – \frac{\pi }{6} = \frac{{11\pi }{6}\).
Resolución de ecuaciones trigonométricas
Holyoak (1984) y Holyoak y Koh (1987) destacaron cuatro tareas para facilitar el aprendizaje analógico: construir una representación mental del ejemplo fuente y del problema objetivo (Tarea 1), recuperar el ejemplo fuente como un análogo del problema objetivo (Tarea 2), mapear los elementos relacionales del ejemplo fuente y del problema objetivo (Tarea 3), y extender el mapeo para resolver el problema objetivo (Tarea 4). Los autores no sugirieron una secuencia definida para implementar estas cuatro tareas, ni indicaron qué tarea o tareas son fundamentales para fomentar el aprendizaje analógico.
La investigación ha reportado el beneficio de incluir pistas de apoyo, como una pista (Novick y Holyoak, 1991) o un recordatorio (Ross, 1984) para acceder al ejemplo fuente. Por lo tanto, la provisión de una pista aborda la Tarea 2. En un estudio realizado por Cummins (1992), la práctica en la extracción de conceptos similares entre el ejemplo fuente y el problema objetivo dio lugar a la transferencia analógica. Podemos atribuir la extracción de conceptos similares a las actividades de mapeo, que abordan la Tarea 3. Otros investigadores también han hecho hincapié en el proceso de mapeo para lograr la transferencia analógica (Gentner et al., 2003). Los participantes que completaron un diagrama en el que se destacaban los elementos relacionales entre dos escenarios de negociación superaron a los participantes que se limitaron a estudiar los dos escenarios de negociación. Sin embargo, en contraste, Reed (1989) no encontró evidencia de transferencia analógica para problemas de palabras a pesar de haber abordado las tareas 2 y 3: (1) proporcionó una pista para que los estudiantes accedieran al ejemplo fuente, (2) requirió que los estudiantes construyeran tareas de mapeo de conceptos entre el ejemplo fuente y el problema objetivo.