Cómo resolver un sistema de ecuaciones 3×3 sustitución
Hasta ahora hemos trabajado con sistemas 2×2 de dos ecuaciones que involucran dos variables, como x e y. Hemos resuelto sistemas lineales-lineales que consisten en dos rectas, y sistemas lineales-cuadráticos que consisten en una recta y una parábola o una circunferencia.
Al resolver estos sistemas de 2×2, encontramos que hay tres métodos básicos para llegar a la solución: una solución algebraica por eliminación, una solución algebraica por sustitución y una solución gráfica.
Cuando se trabaja con un sistema de 2×2, por ejemplo, en el que las dos variables son de grado uno cada una (como x e y), se trata de dos rectas. Podemos resolver un sistema de este tipo graficando las rectas en un conjunto de ejes en el plano cartesiano de dos dimensiones y encontrando el punto de intersección. Esta representación gráfica puede hacerse a mano o con una calculadora gráfica. También existe la posibilidad de que nos encontremos con situaciones “extrañas”, como que las rectas sean paralelas (no hay solución), o que las rectas coincidan (estén superpuestas con un número infinito de soluciones).
Respuestas a la hoja de trabajo del sistema de ecuaciones 3×3
En esta sección, ampliaremos nuestro trabajo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Hasta ahora hemos trabajado con sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Ahora trabajaremos con sistemas de tres ecuaciones con tres variables. Pero primero vamos a repasar lo que ya sabemos sobre la resolución de ecuaciones y sistemas que implican hasta dos variables.
Antes aprendimos que la gráfica de una ecuación lineal, ax+by=c,ax+by=c, es una recta. Cada punto de la recta, un par ordenado (x,y),(x,y), es una solución de la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, graficamos dos rectas. Entonces podemos ver que todos los puntos que son soluciones de cada ecuación forman una recta. Y, al encontrar lo que las rectas tienen en común, encontraremos la solución del sistema.
La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradictorias, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones
Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones de las tres ecuaciones. En otras palabras, buscamos la triple ordenada (x,y,z)(x,y,z) que hace que las tres ecuaciones sean verdaderas. Estas son las soluciones del sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.
Problemas de sistemas de ecuaciones de 3 variables
Cuando rcond está entre 0 y eps, MATLAB® emite una advertencia de casi singular, pero continúa con el cálculo. Cuando se trabaja con matrices mal condicionadas, puede resultar una solución poco fiable aunque el residuo (b-A*x) sea relativamente pequeño. En este ejemplo particular, la norma del residuo es cero, y se obtiene una solución exacta, aunque rcond sea pequeño.Cuando rcond es igual a 0, aparece la advertencia singular. A = [1 0; 0 0];
En este caso, la división por cero lleva a cálculos con Inf y/o NaN, lo que hace que el resultado calculado no sea fiable.Solución por mínimos cuadrados de un sistema indeterminado Open Live ScriptResolver un sistema de ecuaciones lineales, A*x = b. A = [1 2 0; 0 4 3];
Sistema lineal con matriz dispersa Open Live ScriptResuelve un sistema simple de ecuaciones lineales utilizando matrices dispersas. Considera la ecuación matricial A*x = B. A = sparse([0 2 0 1 0; 4 -1 -1 0 0; 0 0 3 -6; -2 0 0 2; 0 0 4 2 0]);
Entorno basado en hilos Ejecute el código en segundo plano utilizando MATLAB® backgroundPool o acelere el código con Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool.Esta función es totalmente compatible con los entornos basados en hilos. Para
Solucionador de sistemas de ecuaciones 3×3
Después de unas cuantas lecciones en las que hemos mencionado repetidamente que estamos cubriendo los fundamentos necesarios para luego aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales, ha llegado el momento de que nuestra lección se centre en la metodología completa a seguir para encontrar las soluciones de dichos sistemas.
La eliminación gaussiana es el nombre del método que utilizamos para realizar los tres tipos de operaciones con filas de matrices en una matriz aumentada procedente de un sistema lineal de ecuaciones con el fin de encontrar las soluciones de dicho sistema. Esta técnica también se denomina reducción de filas y consta de dos etapas: Eliminación hacia delante y sustitución hacia atrás.
Estas dos etapas del método de eliminación de Gauss se diferencian no por las operaciones que se pueden utilizar a través de ellas, sino por el resultado que producen. La etapa de eliminación hacia adelante se refiere a la reducción de filas necesaria para simplificar la matriz en cuestión a su forma escalonada. Dicha etapa tiene el propósito de demostrar si el sistema de ecuaciones representado en la matriz tiene una única solución posible, infinitas soluciones o simplemente ninguna solución. Si se encuentra que el sistema no tiene solución, entonces no hay razón para continuar reduciendo la matriz en la siguiente etapa.