Ecuación de Schrödinger no lineal
Para una partícula unidimensional en una caja , la energía de la partícula para una caja de dimensión L se puede calcular a continuación. Para una caja tridimensional habrá tres valores para el número cuántico n. Las energías para cada dimensión podrían calcularse y sumarse. La implicación de esa suma es que se necesita más energía para confinar una partícula en tres dimensiones que en una, y que la energía mínima de confinamiento para una caja tridimensional de dimensión L es tres veces la de una caja 1D.
El estado básico de una caja tridimensional de dimensión L puede obtenerse fijando n=1 para las tres dimensiones, lo que da una energía tres veces superior a la energía del estado básico de la caja unidimensional. El estado básico de la caja tridimensional sería
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
He aquí una pregunta típica de libro de texto. Tu coche se ha quedado sin gasolina. ¿Con cuánta fuerza necesitas empujarlo para acelerarlo a una velocidad determinada? La respuesta viene de la segunda ley del movimiento de Newton:
donde es aceleración, es fuerza y es masa. Esta ley, maravillosamente sencilla y a la vez sutil, permite describir todo tipo de movimientos, por lo que, al menos en teoría, puede responder a casi cualquier pregunta que un físico quiera hacerse sobre el mundo.
“En la mecánica clásica describimos el estado de un sistema físico mediante la posición y el momento”, explica Nazim Bouatta, físico teórico de la Universidad de Cambridge. Por ejemplo, si tenemos una mesa llena de bolas de billar en movimiento y conocemos la posición y el momento (es decir, la masa por la velocidad) de cada bola en un momento dado, entonces sabemos todo lo que hay que saber sobre el sistema en ese momento: dónde está todo, a dónde va todo y a qué velocidad. “El tipo de pregunta que nos hacemos entonces es: si conocemos las condiciones iniciales de un sistema, es decir, conocemos el sistema en un momento dado, ¿cuál es la evolución dinámica de este sistema? Y para ello utilizamos la segunda ley de Newton. En la mecánica cuántica nos hacemos la misma pregunta, pero la respuesta es complicada porque la posición y el momento ya no son las variables adecuadas para describir [el sistema]”.
Derivación de la ecuación de Schrödinger
RamasAplicada – Experimental – Teórica Matemática – Filosofía de la física Mecánica cuántica (Teoría cuántica de campos – Información cuántica – Computación cuántica) Electromagnetismo – Interacción débil – Interacción electrodébil Interacción fuerte Atómica – Partícula – Nuclear Materia condensada – Estadística Sistemas complejos – Dinámica no lineal – Biofísica Neurofísica Física del plasma Relatividad especial – Relatividad general Astrofísica – Cosmología Teorías de la gravitación Gravedad cuántica – Teoría del todo
Más allá de este caso sencillo, la formulación matemática de la mecánica cuántica desarrollada por Paul Dirac,[4] David Hilbert,[5] John von Neumann,[6] y Hermann Weyl[7] define el estado de un sistema mecánico cuántico como un vector
Las cantidades físicas de interés -posición, momento, energía, espín- se representan mediante “observables”, que son operadores lineales hermitianos (más exactamente, autoadjuntos) que actúan sobre el espacio de Hilbert. Una función de onda puede ser un vector propio de un observable, en cuyo caso se denomina estado propio, y el valor propio asociado corresponde al valor del observable en ese estado propio. De forma más general, un estado cuántico será una combinación lineal de los estados propios, lo que se conoce como superposición cuántica. Cuando se mide un observable, el resultado será uno de sus valores propios con una probabilidad dada por la regla de Born: en el caso más sencillo el valor propio
Solución de la ecuación de Schrodinger
Para un informe que estoy escribiendo sobre Computación Cuántica, me interesa entender un poco sobre esta famosa ecuación. Soy estudiante de matemáticas, así que puedo soportar algo de formalismo en la explicación. Sin embargo no soy tan estúpido como para pensar que puedo entender este hito sin algunos años de física. Me conformo con poder leer la ecuación y reconocerla en sus distintas formas.
que tiene una derivada temporal pero dos derivadas espaciales, por lo que no es invariante de Lorentz (pero sí de Galilea). Para un potencial conservativo, solemos añadir $V(x) \psi$ al lado derecho.
Las funciones de onda $\Psi$ tienen que satisfacer una serie de requisitos básicos como la continuidad, la diferenciabilidad, la finitud, la normalización… En algunos textos se hace hincapié en que las funciones de onda serían monovaluadas, pero esto ya lo tomo en la definición de función.
Sin embargo, en este proceso la aplicación repetida de las relaciones de de Broglie nos aleja de las ondas clásicas o de las partículas clásicas; hasta qué punto la “función de onda” resultante debe considerarse una onda es sobre todo una cuestión semántica, pero definitivamente no es en absoluto una onda clásica. Como ya se ha explicado en otras respuestas, la interpretación adecuada de esta nueva “función de onda” $\Psi$ es intrínsecamente probabilística, en la que su módulo-cuadrado representa una densidad de probabilidad y el gradiente de la fase compleja es la corriente de probabilidad (escalada por algunas constantes y la densidad de probabilidad).