Ecuación general de la elipse no centrada en el origen
¿Te imaginas estar en un extremo de una gran sala y poder oír un susurro de una persona situada en el otro extremo? La Sala Nacional de Estatuas de Washington, D.C., que se muestra en la figura \N(\PageIndex{1}\N), es una sala de este tipo. Se trata de una sala de forma ovalada que se denomina cámara de susurros porque su forma permite que el sonido se desplace a lo largo de las paredes. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia a la que pueden situarse dos personas en la Sala de las Estatuas y seguir oyéndose susurrar.
Una sección cónica, o cónica, es la forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo de intersección del plano con el cono determina la forma, como se muestra en la figura (índice de página 2).
Las secciones cónicas también pueden describirse mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que la gráfica de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos \((x,y)\Nde un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
Fórmula de la elipse del punto focal
La elipse es una parte integrante de la sección cónica y tiene propiedades similares a las del círculo. A diferencia del círculo, la elipse tiene forma ovalada. Una elipse tiene una excentricidad menor que uno, y representa el lugar de los puntos, la suma de cuyas distancias a los dos focos de la elipse es un valor constante. Un ejemplo sencillo de la elipse en nuestra vida cotidiana es la forma de un huevo en dos dimensiones y el seguimiento de la carrera en un estadio deportivo.
Una elipse en matemáticas es el lugar de los puntos en un plano de tal forma que su distancia a un punto fijo tiene una relación constante de “e” con su distancia a una línea fija (menor que 1). La elipse es una parte de la sección cónica, que es la intersección de un cono con un plano que no interseca la base del cono. El punto fijo se denomina foco y se denota por S, la relación constante “e” como excentricidad, y la línea fija se denomina directriz (d) de la elipse.
Existen dos ecuaciones estándar de la elipse. Estas ecuaciones se basan en el eje transversal y el eje conjugado de cada una de las elipses. La ecuación estándar de la elipse \ (\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) tiene el eje transversal como el eje x y el eje conjugado como el eje y. Además, otra ecuación estándar de la elipse es \ (\dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1\) y tiene el eje transversal como el eje y y su eje conjugado como el eje x. La siguiente imagen muestra las dos formas estándar de las ecuaciones de una elipse.
Fórmula de la circunferencia de la elipse
Paso 1: Identificar las coordenadas del centro, los vértices y los covértices. El centro es el punto medio de la elipse y equidistante de los vértices y covértices. Los vértices de la elipse son los puntos extremos del eje mayor de la elipse y los covértices son los puntos extremos del eje menor de la elipse.
{/eq}. El eje mayor de la elipse es el eje y, ya que la parte más larga de la elipse recorre el eje y. Esto significa que el eje menor es el eje x. Con esta información, determinamos que los vértices de la elipse son {eq}(0, \pm 2)
Paso 2: Con el eje mayor, el centro, los vértices y los covértices identificados, podemos sustituir los valores identificados en la ecuación de la forma estándar de una elipse: {eq}\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1
Trazado de una elipse
Si el cono circular derecho es cortado por un plano perpendicular al eje del cono, la intersección es un círculo. Si el plano corta una de las piezas del cono y su eje pero no es perpendicular al eje, la intersección será una elipse. Para generar una parábola, el plano de intersección debe ser paralelo a uno de los lados del cono y debe intersecar una pieza del doble cono. Y por último, para generar una hipérbola el plano interseca ambas piezas del cono. Para ello, la pendiente del plano de intersección debe ser mayor que la del cono.
A medida que cambiamos los valores de algunas de las constantes, la forma de la cónica correspondiente también cambiará. Es importante conocer las diferencias de las ecuaciones para ayudar a identificar rápidamente el tipo de cónica que representa una determinada ecuación.
. Geométricamente da el punto o puntos de intersección de dos o más rectas. De forma similar, las soluciones del sistema de ecuaciones cuadráticas darían los puntos de intersección de dos o más cónicas.