Vértice de una parábola
Podemos utilizar los pasos que se indican a continuación para hallar la ecuación de una parábola cuando se dan su vértice y la ecuación del latus rectum.Paso 1 :Trazar la gráfica de la parábola utilizando el vértice y la ecuación del latus rectum dados. Una vez trazada la gráfica de la parábola, se puede saber hacia qué lado se abre la parábola. Paso 2 :Encuentre la distancia entre el vértice y el foco para obtener el valor de a.Paso 3 :Utilizando los resultados de los pasos 1 y 2, encuentre la ecuación (Explicado en los siguientes ejemplos). Ejemplo 1 :Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es (1, 2) y la ecuación del latus rectum es x = 3.Solución :Dibuja la parábola con vértice (1, 2) y ecuación del latus rectum x = 3. La parábola se abre hacia la derecha.
La parábola se abre hacia la derecha.Ecuación estándar de la parábola que se abre hacia la derecha. (y – k)2 = 4a(x – h)Sustituir vértice (h, k) = (1, 2).(y – 2)2 = 4a(x – 1)Distancia entre el vértice latus rectum, a = 2. (y – 2)2 = 4(2)(x – 1)(y – 2)2 = 8(x – 2)Ejemplo 2 :Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es (1, 2) y la ecuación del latus recto es y = 5Solución :Dibuja la parábola con vértice (1, 2) y ecuación del latus recto y = 5.
Ecuación de la parábola
Utilizando la forma de vértice de una parábola f(x) = a(x – h)2 + k donde (h,k) es el vértice de la parábolaEl eje de simetría es x = 0 por lo que h también es igual a 0Sustituye cada punto de la parábola en la forma de vértice:4 = a(1 – 0)2 + k4 = a(1) + k4 = a + k7 = a(2 – 0)2 + k7 = a(4) + k7 = 4a + kWSabemos que tenemos un sistema lineal: 4 = a + k7 = 4a + kResumiendo las dos ecuaciones nos da:-3 = -3aa = 1Sustituyendo el valor de a en la primera ecuación del sistema lineal: 4 = 1 + kk = 3f(x) = (x – 0)2 + 3f(1) = 4 = (1 – 0)2 + 3 = 1 + 3f(2) = 7 = (2 – 0)2 + 3 = 4 + 3La ecuación de la parábola que pasa por los puntos y el eje de simetría dados esf(x) = (x – 0)2 + 3 = x2 + 3
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Directriz del foco de la parábola
Vamos a identificar las partes de una función parabólica. En la gráfica de arriba, ves una recta determinada que corta la directriz en un ángulo de 90 grados. Esta recta se llama eje de simetría. El punto marcado como C, que indica el punto de apertura de la parábola, se llama vértice. El vértice está siempre a medio camino entre el foco y la directriz de una parábola.
La gráfica anterior es una representación básica de una parábola donde las coordenadas del vértice son (0,0). Al trazar el eje de simetría a través del vértice de la parábola, vemos que esta línea vertical coincide perfectamente con el eje y de la gráfica. Esta parábola se representa con la ecuación
La forma estándar de la ecuación de una parábola, donde la forma cónica de la parábola se forma a lo largo del eje y, es . Los coeficientes h y k representan los puntos del vértice. El coeficiente p representa la distancia del vértice al foco, que es igual a la distancia del vértice a la directriz.
Para encontrar el foco de una parábola, hay que saber que la ecuación de una parábola en forma de vértice es y=a(x-h)2+k donde a representa la pendiente de la ecuación. A partir de la fórmula, podemos ver que las coordenadas del foco de la parábola son (h, k+1/4a).
Fórmula de enfoque de la parábola
Una parábola viene dada por la ecuación #y=ax^2+bx+c#, lo que significa que si se conocen los tres coeficientes #a#, #b# y #c#, la parábola se identifica de forma única. Cada punto te da una condición, y así, dados tres puntos acabarás con tres condiciones para tres variables, y por tanto habrá una solución, o ninguna solución.
Para resolver el problema, basta con partir de la fórmula genérica escrita anteriormente, y sustituir los puntos dados. De hecho, si un punto #(x_0,y_0)# se encuentra en la parábola, debe verificarse que #y_0=ax_0^2+bx_0+c#. Así, con tres puntos dados #(x_1,y_1)#(x_2,y_2)# y #(x_3,y_3)# , tendrás el siguiente sistema: