Fórmula de enfoque de la parábola
Una parábola es la gráfica de una función cuadrática. Pascal afirmó que una parábola es una proyección de un círculo. Galileo explicó que los proyectiles que caen bajo el efecto de la gravedad uniforme siguen una trayectoria llamada parábola. Muchos movimientos físicos de los cuerpos siguen una trayectoria curvilínea que tiene forma de parábola. En matemáticas, se llama parábola a cualquier curva plana que es simétrica a un espejo y que suele tener una forma aproximada de U. Aquí trataremos de entender la derivación de la fórmula estándar de una parábola, las diferentes formas estándar de una parábola y las propiedades de una parábola.
Una parábola se refiere a la ecuación de una curva, tal que un punto de la curva es equidistante de un punto fijo, y una línea fija. El punto fijo se llama foco de la parábola, y la recta fija se llama directriz de la parábola. Además, un punto importante a tener en cuenta es que el punto fijo no se encuentra en la recta fija. El lugar geométrico de cualquier punto que equidista de un punto dado (foco) y de una recta dada (directriz) se llama parábola. La parábola es una curva importante de las secciones cónicas de la geometría de coordenadas.
Parábola directriz
Una parábola viene dada por la ecuación #y=ax^2+bx+c#, lo que significa que si se conocen los tres coeficientes #a#, #b# y #c#, la parábola se identifica de forma única. Cada punto te da una condición, y así, dados tres puntos acabarás con tres condiciones para tres variables, y por tanto habrá una solución, o ninguna solución.
Para resolver el problema, basta con partir de la fórmula genérica escrita anteriormente, y sustituir los puntos dados. De hecho, si un punto #(x_0,y_0)# se encuentra en la parábola, debe verificarse que #y_0=ax_0^2+bx_0+c#. Así, con tres puntos dados #(x_1,y_1)#(x_2,y_2)# y #(x_3,y_3)# , tendrás el siguiente sistema:
Ecuación de la parábola
Usando la forma de vértice de una parábola f(x) = a(x – h)2 + k donde (h,k) es el vértice de la parábolaEl eje de simetría es x = 0 por lo que h también es igual a 0Sustituye cada punto de la parábola en la forma de vértice:4 = a(1 – 0)2 + k4 = a(1) + k4 = a + k7 = a(2 – 0)2 + k7 = a(4) + k7 = 4a + kWSabemos que tenemos un sistema lineal: 4 = a + k7 = 4a + kResumiendo las dos ecuaciones nos da:-3 = -3aa = 1Sustituyendo el valor de a en la primera ecuación del sistema lineal: 4 = 1 + kk = 3f(x) = (x – 0)2 + 3f(1) = 4 = (1 – 0)2 + 3 = 1 + 3f(2) = 7 = (2 – 0)2 + 3 = 4 + 3La ecuación de la parábola que pasa por los puntos y el eje de simetría dados esf(x) = (x – 0)2 + 3 = x2 + 3
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Explicación de la parábola
Vamos a identificar las partes de una función parabólica. En la gráfica de arriba, ves una recta determinada que corta la directriz en un ángulo de 90 grados. Esta recta se llama eje de simetría. El punto marcado como C, que indica el punto de apertura de la parábola, se llama vértice. El vértice está siempre a medio camino entre el foco y la directriz de una parábola.
La gráfica anterior es una representación básica de una parábola donde las coordenadas del vértice son (0,0). Al trazar el eje de simetría a través del vértice de la parábola, vemos que esta línea vertical coincide perfectamente con el eje y de la gráfica. Esta parábola se representa con la ecuación
La forma estándar de la ecuación de una parábola, donde la forma cónica de la parábola se forma a lo largo del eje y, es . Los coeficientes h y k representan los puntos del vértice. El coeficiente p representa la distancia del vértice al foco, que es igual a la distancia del vértice a la directriz.
Para encontrar el foco de una parábola, hay que saber que la ecuación de una parábola en forma de vértice es y=a(x-h)2+k donde a representa la pendiente de la ecuación. A partir de la fórmula, podemos ver que las coordenadas del foco de la parábola son (h, k+1/4a).