Programación lineal
En matemáticas, una desigualdad lineal es una desigualdad que implica una función lineal. Una desigualdad lineal contiene uno de los símbolos de desigualdad:.[1] Muestra los datos que no son iguales en forma de gráfico.
donde las desigualdades pueden ser estrictas o no. El conjunto solución de una desigualdad de este tipo puede representarse gráficamente mediante un semiplano (todos los puntos de un “lado” de una recta fija) en el plano euclidiano[2] La recta que determina los semiplanos (ax + by = c) no está incluida en el conjunto solución cuando la desigualdad es estricta. Un procedimiento sencillo para determinar qué semiplano está en el conjunto solución es calcular el valor de ax + by en un punto (x0, y0) que no esté en la recta y observar si se cumple o no la desigualdad.
Por ejemplo,[3] para dibujar el conjunto solución de x + 3y < 9, se dibuja primero la recta con ecuación x + 3y = 9 como línea de puntos, para indicar que la recta no está incluida en el conjunto solución ya que la desigualdad es estricta. A continuación, se elige un punto conveniente que no esté en la recta, como (0,0). Como 0 + 3(0) = 0 < 9, este punto está en el conjunto solución, por lo que el semiplano que contiene este punto (el semiplano “por debajo” de la recta) es el conjunto solución de esta desigualdad lineal.
Resolución de inecuaciones lineales en una variable
En matemáticas, una inecuación lineal es una desigualdad que implica una función lineal. Una desigualdad lineal contiene uno de los símbolos de desigualdad:.[1] Muestra los datos que no son iguales en forma de gráfico.
donde las desigualdades pueden ser estrictas o no. El conjunto solución de una desigualdad de este tipo puede representarse gráficamente mediante un semiplano (todos los puntos de un “lado” de una recta fija) en el plano euclidiano[2] La recta que determina los semiplanos (ax + by = c) no está incluida en el conjunto solución cuando la desigualdad es estricta. Un procedimiento sencillo para determinar qué semiplano está en el conjunto solución es calcular el valor de ax + by en un punto (x0, y0) que no esté en la recta y observar si se cumple o no la desigualdad.
Por ejemplo,[3] para dibujar el conjunto solución de x + 3y < 9, se dibuja primero la recta con ecuación x + 3y = 9 como línea de puntos, para indicar que la recta no está incluida en el conjunto solución ya que la desigualdad es estricta. A continuación, se elige un punto conveniente que no esté en la recta, como (0,0). Como 0 + 3(0) = 0 < 9, este punto está en el conjunto solución, por lo que el semiplano que contiene este punto (el semiplano “por debajo” de la recta) es el conjunto solución de esta desigualdad lineal.
Resolver sistemas de inecuaciones lineales
Las técnicas para difieren de las de las ecuaciones lineales porque los signos de las desigualdades no nos permiten realizar sustituciones como hacemos con las ecuaciones. No obstante, podemos resolver estos problemas.
Un sistema de inecuaciones lineales implica varias expresiones que, cuando se resuelven, pueden dar lugar a una serie de soluciones. Muchos de los conceptos que aprendimos al estudiar los sistemas de ecuaciones lineales se trasladan a la resolución de un sistema de inecuaciones lineales, pero el proceso puede ser algo difícil. Quizá la forma más lúcida de resolver simultáneamente un conjunto de inecuaciones lineales sea mediante el uso de gráficos. Consideremos enseguida un ejemplo en dos dimensiones.
Debido a la desigualdad, no podemos utilizar la sustitución de la misma manera que lo hicimos con los sistemas de ecuaciones lineales. Veamos las gráficas de estas desigualdades. Primero, simplificamos en una forma que sea fácil de representar gráficamente.
Podemos ver en la gráfica que hay dos regiones sombreadas que corresponden a las soluciones de cada inecuación. Las líneas están sombreadas porque las desigualdades no son estrictas (se utilizan ≥ y ≤). La solución del sistema de desigualdades es la región sombreada más oscura, que es la superposición de las dos regiones individuales, y las porciones de las líneas (rayos) que bordean la región. Simbólicamente, tal vez podamos expresar mejor la solución en este caso como
Desigualdad con 2 variables
Obsérvese que este concepto contiene elementos de dos campos de las matemáticas, la línea de la geometría y los números del álgebra. René Descartes (1596-1650) ideó un método para relacionar los puntos de un plano con los números algebraicos. Este esquema se denomina sistema de coordenadas cartesianas (por Descartes) y a veces se denomina sistema de coordenadas rectangulares.
Los puntos del plano se designan mediante pares ordenados de números escritos entre paréntesis con una coma entre ellos, como por ejemplo (5,7). Se llama par ordenado porque el orden en que se escriben los números es importante. El par ordenado (5,7) no es el mismo que el par ordenado (7,5). Los puntos se localizan en el plano de la siguiente manera.
Primero, se parte del origen y se cuenta a la izquierda o a la derecha el número de espacios designados por el primer número del par ordenado. En segundo lugar, desde el punto del eje x dado por el primer número se cuenta hacia arriba o hacia abajo el número de espacios designados por el segundo número del par ordenado. Los pares ordenados se escriben siempre con x primero y luego con y, (x,y). Los números representados por x e y se llaman coordenadas del punto (x,y).