Un sistema con más incógnitas que ecuaciones tiene al menos una solución
Las posibilidades del conjunto de soluciones para cualquier sistema homogéneo es una solución única o infinitas soluciones. Como el sistema homogéneo tiene la solución cero y $x_1=3, x_2=-2, x_3=1$ es otra solución, tiene al menos dos soluciones distintas. Por lo tanto, la única posibilidad es infinitamente muchas soluciones.
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Resolver un sistema de ecuaciones lineales
Hay un tipo especial de sistema que requiere un estudio adicional. Este tipo de sistema se denomina sistema de ecuaciones homogéneo, que definimos anteriormente en la definición 1.2.3. Nuestro objetivo en esta sección es considerar qué tipos de soluciones son posibles para un sistema de ecuaciones homogéneo.
Consideremos el sistema homogéneo de ecuaciones dado por \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}= 0 \\\\c a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}= 0 \\cdots \cdots a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}= 0 \end{ray}nonumber \cdots] Entonces, \ (x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) es siempre una solución de este sistema. La llamamos solución trivial.
Si el sistema tiene una solución en la que no todos los \cdots (x_1, \cdots, x_n\) son iguales a cero, entonces llamamos a esta solución no trivial . ¡La solución trivial no nos dice mucho sobre el sistema, ya que dice que \(0=0\)! Por lo tanto, al trabajar con sistemas de ecuaciones homogéneos, queremos saber cuándo el sistema tiene una solución no trivial.
Sistema de ecuaciones lineales
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En matemáticas, un sistema de ecuaciones lineales o un sistema de ecuaciones polinómicas se considera subdeterminado si hay menos ecuaciones que incógnitas[1] (en contraste con un sistema sobredeterminado, donde hay más ecuaciones que incógnitas). La terminología puede explicarse utilizando el concepto de recuento de restricciones. Cada incógnita puede verse como un grado de libertad disponible. Cada ecuación introducida en el sistema puede verse como una restricción que limita un grado de libertad.
Por tanto, el caso crítico (entre sobredeterminado e infradeterminado) se produce cuando el número de ecuaciones y el número de variables libres son iguales. Para cada variable que da un grado de libertad, existe una restricción correspondiente que elimina un grado de libertad. Por el contrario, el caso infradeterminado se produce cuando el sistema está infra-restringido, es decir, cuando las incógnitas superan a las ecuaciones.
Sistema indeterminado
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En matemáticas, un sistema de ecuaciones lineales o un sistema de ecuaciones polinómicas se considera subdeterminado si hay menos ecuaciones que incógnitas[1] (en contraste con un sistema sobredeterminado, donde hay más ecuaciones que incógnitas). La terminología puede explicarse utilizando el concepto de recuento de restricciones. Cada incógnita puede verse como un grado de libertad disponible. Cada ecuación introducida en el sistema puede verse como una restricción que limita un grado de libertad.
Por tanto, el caso crítico (entre sobredeterminado e infradeterminado) se produce cuando el número de ecuaciones y el número de variables libres son iguales. Para cada variable que da un grado de libertad, existe una restricción correspondiente que elimina un grado de libertad. Por el contrario, el caso infradeterminado se produce cuando el sistema está infra-restringido, es decir, cuando las incógnitas superan a las ecuaciones.