Diferenciación implícita
En el capítulo anterior nos encontramos con las ecuaciones vectoriales. Resulta que las ecuaciones vectoriales son simplemente sistemas de ecuaciones lineales con una notación diferente. Daremos dos ejemplos para demostrar que es así.
Un sistema de ecuaciones lineales se llama inconsistente si no tiene soluciones. Esta definición coincide exactamente con la definición de las ecuaciones vectoriales (definición del apartado 1.2). Un sistema de ecuaciones lineales es consistente exactamente cuando la ecuación vectorial asociada lo es.Antes de discutir cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales a continuación, es útil ver algunas imágenes de cómo se ven estos conjuntos de soluciones geométricamente.
que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas a la vez. En otras palabras, como un punto que se encuentra en ambas líneas simultáneamente. Podemos ver en la imagen anterior que sólo hay un punto en el que se cruzan las rectas: por tanto, este sistema tiene exactamente una solución. (Esta solución es (
Cada ecuación define individualmente un plano en el espacio. Las soluciones del sistema de ambas ecuaciones son los puntos que se encuentran en ambos planos. Podemos ver en la imagen de abajo que los planos se cruzan en una línea. En particular, este sistema tiene infinitas soluciones.
Calculadora de ecuaciones de líneas implícitas
La semana pasada, vimos cómo crear una cuenta, un proyecto y una hoja de trabajo Sage en SageMathCloud, y algunas operaciones básicas dentro de la hoja de trabajo Sage – aritmética, trazado, resolución de sistemas de ecuaciones, creación y reducción de filas de matrices. Esta semana, nos centraremos en dos temas:
En ambos casos, el trozo (t,-5,5) dice que queremos ver los puntos en los que el parámetro t va de -5 a 5. (Dado que la recta es infinita, Sage no puede mostrar toda la recta, por supuesto). En el caso implícito, el (x,-5,5) y el (y,-5,5) dicen que la ventana de visualización debe ser -5<x
¿Por qué las dos imágenes no se ven igual, si es el mismo plano? Recuerda que el extra (x,-5,5) y demás especifica la ventana de vista, mientras que el (s,-2,2) y demás especifica los parámetros a trazar; los dos no coinciden. Pequeño reto: ¿puede una ventana de visualización y rangos de parámetros para que los dos gráficos se vean iguales?
Por último, volvamos al álgebra matricial. Si dejamos que M sea la matriz 1×3 [1,2,3] entonces hemos estado viendo la ecuación Mx=[4]. Los vectores v y w de la forma paramétrica deberían ser soluciones de la ecuación Mx=[0], y p debería satisfacer Mp=4. Vamos a comprobarlo:
Ecuación diferencial implícita
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En la primera sección de este capítulo vimos un par de ecuaciones de planos. Sin embargo, ninguna de esas ecuaciones tenía tres variables en ellas y eran realmente extensiones de gráficas que podíamos ver en dos dimensiones. Nos gustaría tener una ecuación más general para los planos.
Por lo tanto, vamos a empezar por suponer que sabemos un punto que está en el plano, \ ({P_0} = \left( {{x_0},{y_0},{z_0} \right)\). Supongamos también que tenemos un vector que es ortogonal (perpendicular) al plano, \(\vec n = \left\langle {a,b,c} \right\rangle \). Este vector se llama vector normal. Ahora, supongamos que \N(P = \left( {x,y,z} \right)\Nes un punto cualquiera del plano. Por último, ya que vamos a estar trabajando con los vectores inicialmente vamos a dejar que \ ~(\overrightarrow {{r_0}}) y \ ~(\vec r\) son los vectores de posición para P0
Integrar la función implícita
Trasladar las variables libres al lado derecho de las ecuaciones equivale a resolver las variables no libres (las que vienen de las columnas pivotantes) en términos de las variables libres. Se puede pensar en las variables libres como variables independientes, y en las variables no libres como dependientes.
Uno debe pensar en un sistema de ecuaciones como una ecuación implícita para su conjunto de soluciones, y en la forma paramétrica como la ecuación parametrizada para el mismo conjunto. La forma paramétrica es mucho más explícita: da una receta concreta para producir todas las soluciones.Se puede elegir cualquier valor para las variables libres en un sistema lineal (consistente).