Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en física
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Ahora pasamos a una de las principales aplicaciones de las ecuaciones diferenciales, tanto en esta clase como en general. La modelización es el proceso de escribir una ecuación diferencial para describir una situación física. Casi todas las ecuaciones diferenciales que usted utilizará en su trabajo (para los ingenieros de la audiencia) están ahí porque alguien, en algún momento, modeló una situación para llegar a la ecuación diferencial que usted está utilizando.
Esta sección no pretende enseñar completamente cómo modelar todas las situaciones físicas. Se podría dedicar un curso entero al tema de la modelización y aun así no cubrirlo todo. Esta sección está diseñada para presentarle el proceso de modelización y mostrarle lo que implica la modelización. Veremos tres situaciones diferentes en esta sección: problemas de mezcla, problemas de población y caída de objetos.
Aplicación de las ecuaciones diferenciales problemas y soluciones pdf
Para aplicar los métodos matemáticos a un problema físico o de la “vida real”, debemos formular el problema en términos matemáticos; es decir, debemos construir un modelo matemático para el problema. Muchos problemas físicos se refieren a relaciones entre cantidades cambiantes. Dado que las tasas de cambio se representan matemáticamente mediante derivadas, los modelos matemáticos suelen incluir ecuaciones que relacionan una función desconocida y una o varias de sus derivadas. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales. Son el objeto de este libro.
Gran parte del cálculo se dedica a aprender técnicas matemáticas que se aplican en cursos posteriores de matemáticas y ciencias; no tendría tiempo de aprender mucho cálculo si insistiera en ver una aplicación específica de cada tema cubierto en el curso. Del mismo modo, gran parte de este libro se dedica a métodos que pueden aplicarse en cursos posteriores. Sólo una parte relativamente pequeña del libro se dedica a la derivación de ecuaciones diferenciales específicas a partir de modelos matemáticos, o a relacionar las ecuaciones diferenciales que estudiamos con aplicaciones específicas. En esta sección mencionamos algunas de esas aplicaciones. El modelo matemático para un problema aplicado es casi siempre más simple que la situación real que se estudia, ya que normalmente se requieren suposiciones simplificadoras para obtener un problema matemático que pueda ser resuelto. Por ejemplo, al modelar el movimiento de un objeto que cae, podríamos despreciar la resistencia del aire y la atracción gravitatoria de los cuerpos celestes distintos de la Tierra, o al modelar el crecimiento de la población podríamos suponer que la población crece de forma continua en lugar de en pasos discretos.
Aplicación de la ecuación diferencial en informática
Anteriormente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de \( v_0\) pies/s, entonces un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de \( t\) segundos está dado por
La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto está subiendo, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente (Figura \( \PageIndex{1}\)). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a alguna constante \( k\) por \( v\). Para objetos más grandes (por ejemplo, del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a \( v^{1,5}\), o \( v^{0,9}\), o alguna otra potencia de \( v\).
Aplicación de la ecuación diferencial en la vida real pdf
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