Problema de Cauchy
El planteamiento de problemas es un enfoque de aprendizaje que capacita a los estudiantes para ser capaces de procesar y comunicar problemas matemáticos a partir de la información obtenida. Este estudio pretende describir la capacidad de los estudiantes de secundaria para plantear problemas sobre el tema del sistema de ecuaciones lineales en dos variables (SLETV). Este estudio utilizó un estudio descriptivo cuantitativo en el que participaron 60 estudiantes de secundaria de la zona este de Surabaya. Los resultados mostraron que los estudiantes fueron capaces de presentar 60 problemas, de los cuales 54 pueden ser categorizados y 6 no pudieron serlo. Basándose en la estructura semántica de las matemáticas, 17 estudiantes (31,48%) fueron capaces de plantear problemas utilizando 1 relación, 13 estudiantes (24,07%) fueron capaces de plantear problemas utilizando 2 relaciones, 13 estudiantes (24,07%) fueron capaces de plantear problemas utilizando 3 relaciones y 11 estudiantes (20,37%) fueron capaces de plantear problemas utilizando 4 relaciones. En cuanto a la estructura del lenguaje (sintaxis), 13 alumnos (24,07%) fueron capaces de plantear problemas utilizando proposiciones de asignación, otros 17 alumnos (31,48%) fueron capaces de plantear problemas utilizando proposiciones de relación, y 14 alumnos (25,93%) fueron capaces de plantear un problema utilizando una proposición de presuposición.
Ecuación diferencial modificada
En Matemáticas, los profesores deben animar a los estudiantes a centrarse en algo más que en la respuesta correcta; los estudiantes necesitan comprender el proceso y los conceptos subyacentes para obtener la respuesta correcta (Johnson y Watson, 2011). En otras palabras, los estudiantes necesitan encontrar y justificar sus soluciones.Para justificar una solución, los estudiantes tendrán que ser capaces de utilizar un lenguaje matemático apropiado para dar razones para el enfoque particular utilizado para resolver un problema. Cada vez que un alumno produce una “solución” en un intento de resolver un problema, esa “solución” tiene que estar justificada. La justificación de una solución también puede surgir en el contexto de una discusión matemática en clase, donde los alumnos tendrán que explicar sus soluciones oralmente. Comprensión de esta estrategiaPara ayudar a los alumnos a justificar sus soluciones, el profesor puede:Ejemplo de uso de la justificaciónEl siguiente ejemplo muestra cómo puede aplicarse esta estrategia a una clase de 10º curso sobre ecuaciones lineales.Escenario: cobrar por hacer una tareaCompare los dos cálculos siguientes para cobrar por un servicio, donde C representa el coste (en $) de completar la tarea y t representa el tiempo que se tarda (en horas) en completar la tarea:
Problemas inversos de regularización
Resumen: Desde la perspectiva de la teoría de la carga cognitiva, la complejidad de la resolución de ecuaciones depende del grado de interactividad de los elementos, que es proporcional al número de líneas operativas y relacionales. Una línea operativa altera el estado del problema de la ecuación y, al mismo tiempo, preserva su igualdad (por ejemplo, + 2 en ambos lados). Una línea relacional indica la relación entre elementos en el sentido de que el lado izquierdo de la ecuación es igual al lado derecho. Aparte del efecto de interactividad de los elementos, operar con características especiales (por ejemplo, fracciones) aumenta la complejidad de la resolución de ecuaciones. Treinta y ocho profesores en formación (mujeres = 30, hombres = 8) fueron asignados al azar para resolver ecuaciones de un paso, de dos pasos o de varios pasos y para completar una prueba de concepto sobre el papel del signo “=” con respecto a las líneas operativas y relacionales. Los resultados de la prueba revelaron que un mayor rendimiento se correlacionaba con un menor número de líneas operativas y relacionales. Sin embargo, el rendimiento favoreció a las ecuaciones sin características especiales cuando el número de líneas operativas y relacionales se mantuvo constante. La correlación entre el rendimiento en los ítems de la prueba y la prueba de concepto fue significativa tanto para las ecuaciones de dos pasos como para las ecuaciones de varios pasos, pero no para las ecuaciones de un paso.
Problemas inversos
El término matemático problema bien planteado procede de una definición dada por el matemático francés del siglo XX Jacques Hadamard. Él creía que los modelos matemáticos de los fenómenos físicos debían tener las propiedades que:
Algunos ejemplos de problemas bien planteados son el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace y la ecuación del calor con condiciones iniciales específicas. Estos pueden considerarse problemas “naturales”, ya que existen procesos físicos modelizados por estos problemas.
Los problemas que no están bien planteados en el sentido de Hadamard se denominan mal planteados. Los problemas inversos suelen estar mal planteados. Por ejemplo, la ecuación inversa del calor, que deduce una distribución previa de la temperatura a partir de los datos finales, no está bien planteada porque la solución es muy sensible a los cambios en los datos finales.
Los modelos continuos deben discretizarse a menudo para obtener una solución numérica. Aunque las soluciones pueden ser continuas con respecto a las condiciones iniciales, pueden sufrir inestabilidad numérica cuando se resuelven con precisión finita, o con errores en los datos. Incluso si un problema está bien planteado, puede estar mal condicionado, lo que significa que un pequeño error en los datos iniciales puede dar lugar a errores mucho mayores en las respuestas. Los problemas de los sistemas complejos no lineales (llamados sistemas caóticos) son ejemplos bien conocidos de inestabilidad. Un problema mal condicionado se indica con un gran número de condición.