Ecuación diferencial homogénea de segundo orden
Cuando se trabaja con ecuaciones diferenciales, normalmente el objetivo es encontrar una solución. En otras palabras, queremos encontrar una función (o funciones) que satisfaga la ecuación diferencial. La técnica que utilizamos para encontrar estas soluciones varía, dependiendo de la forma de la ecuación diferencial con la que estamos trabajando. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen varias características importantes que pueden ayudarnos a determinar qué método de solución utilizar. En esta sección, examinamos algunas de estas características y la terminología asociada.
Observe que \(y\) y sus derivadas aparecen en una forma relativamente simple. Se multiplican por funciones de \(x\), pero no se elevan a ninguna potencia por sí mismas, ni se multiplican juntas. Como se ha comentado anteriormente, se dice que las ecuaciones de primer orden con características similares son lineales. Lo mismo ocurre con las ecuaciones de segundo orden. Obsérvese también que todos los términos de esta ecuación diferencial implican o bien \(y\) o bien una de sus derivadas. No hay términos que impliquen sólo funciones de \(x\). Las ecuaciones como ésta, en las que cada término contiene \(y\) o una de sus derivadas, se llaman homogéneas.
Problema de valor inicial no homogéneo de segundo orden
En cálculo multivariable, un problema de valor inicial[a] (PIV) es una ecuación diferencial ordinaria junto con una condición inicial que especifica el valor de la función desconocida en un punto determinado del dominio. La modelización de un sistema en física o en otras ciencias equivale con frecuencia a la resolución de un problema de valor inicial. En ese contexto, el valor inicial diferencial es una ecuación que especifica cómo evoluciona el sistema con el tiempo dadas las condiciones iniciales del problema.
La demostración de este teorema procede reformulando el problema como una ecuación integral equivalente. La integral puede considerarse un operador que mapea una función en otra, de manera que la solución es un punto fijo del operador. Se invoca entonces el teorema del punto fijo de Banach para demostrar que existe un punto fijo único, que es la solución del problema de valor inicial.
Hiroshi Okamura obtuvo una condición necesaria y suficiente para que la solución de un problema de valor inicial sea única. Esta condición tiene que ver con la existencia de una función de Lyapunov para el sistema.
Ecuación diferencial lineal de segundo orden
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo apaisado. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En el capítulo anterior vimos las ecuaciones diferenciales de primer orden. En este capítulo pasaremos a las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Al igual que en el capítulo anterior, veremos algunos casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden que podemos resolver. Sin embargo, a diferencia del capítulo anterior, vamos a tener que ser aún más restrictivos en cuanto a los tipos de ecuaciones diferenciales que vamos a ver. Esto será necesario para que podamos realmente resolverlas.
Conceptos básicos – En esta sección daremos una discusión en profundidad sobre el proceso utilizado para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas, lineales, de segundo orden, \(ay” + by’ + cy = 0\). Derivamos el polinomio característico y discutimos cómo se utiliza el Principio de Superposición para obtener la solución general.
Solución particular de una ecuación diferencial de segundo orden
Es decir, suponemos la existencia de solución del problema (4) para algún . Para los problemas con , el problema de valor inicial (4) siempre tiene una solución , para . Una de las ventajas del Teorema 2 es que el problema (4) siempre tiene una solución para algún valor apropiado; por ejemplo, para , el problema (4) tiene una solución . La conclusión del teorema sigue siendo válida para todas las soluciones de (4). También está claro, a partir de la conclusión del teorema 2, que el intervalo puede tomarse como para algún valor suficientemente pequeño. Prueba del teorema 2. Para , definimos las funciones
La función es una función acotada que es continua para . Es continua o tiene una discontinuidad removible en y es diferenciable a.e.Demostraremos que el problema (2) es equivalente a la siguiente ecuación integral:
para alguna constante . Por lo tanto, la sucesión es uniformemente acotada y uniformemente continua y, por el lema de Ascoli-Arzela, existe una continua tal que uniformemente en , para cualquier . Sin pérdida de generalidad, digamos que . Entonces