Ecuación cartesiana
En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficas. En el sistema de coordenadas bidimensional, las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones. El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto \(x\) como \(y\), y a medida que el parámetro aumenta, los valores de \(x\) y \(y\) trazan una trayectoria a lo largo de una curva plana. Por ejemplo, si el parámetro es \(t\) (una elección común), entonces \(t\) podría representar el tiempo. Entonces, \(x\) y \(y\) se definen como funciones del tiempo, y \((x(t),y(t))\Npuede describir la posición en el plano de un objeto dado mientras se mueve a lo largo de una trayectoria curva.
Consideremos la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365,25 días, pero para esta discusión utilizaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto al Sol es prácticamente la misma, excepto en los años bisiestos, en los que el desfase introducido por el día extra \frac{1}{4}\ de tiempo orbital se incorpora al calendario. Llamamos al 1 de enero “día 1” del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente.
Superficie paramétrica
La ecuación rectangular \N(y=f(x)\Nfunciona bien para algunas formas, como una parábola con un eje de simetría vertical, pero en el apartado anterior nos hemos encontrado con varias formas que no se pueden trazar de esta manera. (Para trazar una elipse mediante el procedimiento anterior, tenemos que trazar la “parte superior” y la “parte inferior” por separado).
Sean \(f\) y \(g\) funciones continuas sobre un intervalo \(I\). El conjunto de todos los puntos \(\big(x,y\big) = \big(f(t),g(t)\big)\big) en el plano cartesiano, al variar \(t\) sobre \(I\), es la gráfica de las ecuaciones paramétricas \(x=f(t)\big) y \(y=g(t)\big), donde \(t\) es el parámetro. Una curva es una gráfica junto con las ecuaciones paramétricas que la definen.
Esta es una definición formal de la palabra curva. Cuando una curva se encuentra en un plano (como el plano cartesiano), se suele denominar curva plana. Los ejemplos nos ayudarán a entender los conceptos introducidos en la definición.
Trazamos las gráficas de las ecuaciones paramétricas de forma muy parecida a como trazamos las gráficas de funciones como \(y=f(x)\N): hacemos una tabla de valores, trazamos puntos y luego conectamos estos puntos con una curva de aspecto “razonable”. La figura 9.20(a) muestra dicha tabla de valores; observe que tenemos 3 columnas.
Ecuación paramétrica del elipsoide
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Hasta este momento (tanto en Cálculo I como en Cálculo II) hemos visto casi exclusivamente funciones de la forma \(y = f\left( x \right)\) o \(x = h\left( y \right)\Ny casi todas las fórmulas que hemos desarrollado requieren que las funciones estén en una de estas dos formas. El problema es que no todas las curvas o ecuaciones que queremos ver se ajustan fácilmente a esta forma.
\N – [\N – y & = \N – {{r^2}} – {x^2}} & \N – espacio de 0,15 pulgadas & \N – izquierda( {{mbox{top}} \N – derecha) \N – espacio de 0,75 pulgadas. 75in} & x & = \qrt {{r^2}} – {y^2}} & \hspace{0.15in} & \left( {{mbox}{lateral derecho}} \right)\ y & = – \qrt {{r^2}} – {x^2} & \hspace{0. 15in} & \left( {{mbox{bottom}} \right)\hspace{0.75in} & x & = – \sqrt {{r^2} – {y^2}} & \hspace{0.15in} & \left( {{mbox{left side}} \right)\end{align*}]
Círculo paramétrico
La ecuación rectangular \(y=f(x)\Nfunciona bien para algunas formas como una parábola con un eje de simetría vertical, pero en la sección anterior nos encontramos con varias formas que no podían ser trazadas de esta manera. (Para trazar una elipse con el procedimiento anterior, tenemos que trazar la “parte superior” y la “parte inferior” por separado).
Sean \(f\) y \(g\) funciones continuas sobre un intervalo \(I\). El conjunto de todos los puntos \(\big(x,y\big) = \big(f(t),g(t)\big)\big) en el plano cartesiano, al variar \(t\) sobre \(I\), es la gráfica de las ecuaciones paramétricas \(x=f(t)\big) y \(y=g(t)\big), donde \(t\) es el parámetro. Una curva es una gráfica junto con las ecuaciones paramétricas que la definen.
Esta es una definición formal de la palabra curva. Cuando una curva se encuentra en un plano (como el plano cartesiano), se suele denominar curva plana. Los ejemplos nos ayudarán a entender los conceptos introducidos en la definición.
Trazamos las gráficas de las ecuaciones paramétricas de forma muy parecida a como trazamos las gráficas de funciones como \(y=f(x)\N): hacemos una tabla de valores, trazamos puntos y luego conectamos estos puntos con una curva de aspecto “razonable”. La figura 9.20(a) muestra dicha tabla de valores; observe que tenemos 3 columnas.