Ecuación cuadrática a partir de tres puntos
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tomar la forma [latex]Ax+By+C=0[/latex]. Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
[latex]\N-empieza{alinear}&x-y=-1 \\N – &x=y – 1 && \text{Resolver para }x. \\ Y = izquierda (y – 1 derecha) + 1 && \text{Sustituir la expresión para x. \\ Y=Izquierda(Y^2}-2Y+1D) +1 y… \\ &y={y}^{2}-2y+2 \\N-[3mm] &0={y}^{2}-3y+2 && \text{{puesta} igual a 0 y resolver.} |0=Izquierda(y – 2\\NDerecha)\NIzquierda(y – 1\NDerecha) \NFin[/latex]
Resolviendo para [latex]y[/latex] da [latex]y=2[/latex] y [latex]y=1[/latex]. A continuación, sustituye cada valor de [latex]y[/latex] en la primera ecuación para resolver [latex]x[/latex]. Sustituye siempre el valor en la ecuación lineal para comprobar si hay soluciones extrañas.
Sistema de ecuaciones círculo y recta
La siguiente sección cónica que veremos es una parábola. Definimos una parábola como todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una recta fija. El punto fijo se llama foco, y la recta fija se llama directriz de la parábola.
Hasta ahora sólo hemos trabajado con parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ahora vamos a estudiar las parábolas horizontales. Estas parábolas se abren hacia la izquierda o hacia la derecha. Si intercambiamos la x y la y en nuestras ecuaciones anteriores para las parábolas, obtenemos las ecuaciones para las parábolas que se abren hacia la izquierda o hacia la derecha.
{: valign=”top”}{: .unnumbered .unstyled .can-break summary=”La ecuación es x igual a 2y al cuadrado. Aquí, a es 2 y la parábola se abre hacia la derecha. Para encontrar el eje de simetría, hallamos que y es igual a menos b sobre 2a. Sustituyendo los valores, obtenemos y igual a 0 dividido por dos veces dos. Por lo tanto y es 0. Este es el eje de simetría. El vértice está en esta línea. Sea y 0. Sustituyendo en la ecuación, obtenemos x igual a 0. El vértice es (0, 0). Como el vértice es (0, 0), tanto los intersticios de x como de y son el punto (0, 0). Para graficar la parábola necesitamos más puntos. En este caso lo más fácil es elegir los valores de y.” data-label=””}
Explicación de la parábola
El cometa Halley ((Figura)) orbita alrededor del sol una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales pueden estudiarse mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una recta, un círculo y una recta, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tomar la formaCualquier ecuación que no pueda escribirse en esta forma en no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
Solucionador de sistemas de ecuaciones cuadráticas
Si bien estudiamos las parábolas anteriormente cuando exploramos las cuadráticas, en ese momento no las tratamos como una sección cónica. Una parábola es la forma que resulta cuando un plano paralelo al lado de la cónica interseca la cónica (Pbroks13 (commons.wikimedia.org/wiki/F…with_plane.svg), “Conic sections with plane”, recortado para mostrar sólo la parábola, CC BY 3.0).
Una parábola con vértice en el origen puede definirse colocando un punto fijo en \(F\left( 0,p \right)\Nllamado foco, y trazando una línea en \(y = – p\), llamada directriz. La parábola es el conjunto de todos los puntos \(Q\left( x,y \right)\Nque están a igual distancia entre el punto fijo y la directriz.
A partir de la definición anterior podemos encontrar la ecuación de una parábola. La encontraremos para una parábola con vértice en el origen, \(C\left( 0,0 \right)\N, que se abre hacia arriba con el foco en \(F\left( 0,p \right)\Ny la directriz en \N(y = – p\).
Esta es la forma cónica estándar de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo (eje vertical de simetría), centrada en el origen. Tenga en cuenta que si dividimos por \(4p\), obtendríamos una ecuación más familiar para la parábola, \(y = \dfrac{x^2}{4p}\). Podemos reconocer esto como una transformación de la parábola \(y = x^2\), comprimida o estirada verticalmente por \(dfrac{1}{4p}\).