Resolver el sistema por el método de la calculadora de reducción
Obtenga el máximo viendo este tema en su grado actual. Elige tu curso ahora. IntroducciónLecciones Ahora que hemos aprendido a representar un sistema lineal como una matriz, ¡podemos resolver esta matriz para resolver el sistema lineal! Utilizamos un método llamado “eliminación gaussiana”. Este método implica muchas operaciones con filas de la matriz. Nuestro objetivo es hacer que todas las entradas de la parte inferior izquierda de la matriz sean 0. Una vez hecho esto, echamos un vistazo a la última fila y la convertimos en un sistema lineal. A continuación, resolvemos la variable. Luego miramos la penúltima fila, la convertimos en un sistema lineal y resolvemos para la otra variable. Repite la operación y encontrarás todas las variables que resuelven el sistema lineal Resolver un sistema lineal con matrices utilizando la eliminación de Gauss
Después de unas cuantas lecciones en las que hemos mencionado repetidamente que estamos cubriendo los fundamentos necesarios para aprender después a resolver sistemas de ecuaciones lineales, ha llegado el momento de que nuestra lección se centre en la metodología completa a seguir para encontrar las soluciones de dichos sistemas.
Operaciones de fila para resolver sistemas de ecuaciones calculadora
En esta sección, presentaremos un algoritmo para “resolver” un sistema de ecuaciones lineales.Resolveremos sistemas de ecuaciones lineales algebraicamente utilizando el método de eliminación. Es decir, combinaremos las ecuaciones de diversas formas para intentar eliminar el mayor número de variables posible de cada ecuación. Hay tres operaciones válidas que podemos realizar en nuestro sistema de ecuaciones:
Esto se llama matriz aumentada. La palabra “aumentada” se refiere a la línea vertical, que dibujamos para recordar dónde está el signo de igualdad; una matriz es una cuadrícula de números sin la línea vertical. En esta notación, nuestras tres formas válidas de manipular nuestras ecuaciones se convierten en operaciones de fila:
Por supuesto, esto no significa que la segunda fila sea igual a la segunda fila menos el doble de la primera. En cambio, significa que estamos sustituyendo la segunda fila por la segunda fila menos el doble de la primera. Este tipo de sintaxis se utiliza con frecuencia en la programación informática cuando queremos cambiar el valor de una variable.
Ejemplos de métodos de reducción
El método de resolución de sistemas de ecuaciones por matrices que vamos a ver se basa en procedimientos que implican ecuaciones con los que estamos familiarizados de cursos anteriores de matemáticas. La idea principal es reducir un sistema de ecuaciones dado a otro más sencillo que tenga las mismas soluciones.
Dado un sistema de ecuaciones con variables reales \(x_1{,}} \(x_2, \ldots \text{,}}) \(x_n{,}}) el conjunto de soluciones del sistema es el conjunto de \(n\\_}tuplas en \(\mathbb{R}^n{,}}, ) \(\left(a_1, a_2, \ldots ,a_n\right)\N- tales que las sustituciones \N(x_1= a_1\text{,}\N-) \N(x_2= a_2, \ldots\text{,}\N-) \N(x_n= a_n\N-) hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas.
En general, si las variables son de un conjunto \text{,}\}, entonces el conjunto solución será un subconjunto de \t}(S^n\text{,}\}) Por ejemplo, en teoría de números los matemáticos estudian las ecuaciones diofantinas, donde las variables sólo pueden tomar valores enteros en lugar de valores reales.
entonces ambos sistemas tienen el conjunto de soluciones \(\{(-1, -1, 7)\}\text{.}\} En otras palabras, los valores simultáneos \(x_1=-1\text{,}\) \(x_2= -1\text{,}\) y \(x_3= 7\) son los únicos valores de las variables que hacen que las tres ecuaciones de cualquiera de los dos sistemas sean verdaderas.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales calculadora de reducción de filas
ResumenConsideramos la reducción de dimensión para sistemas dinámicos no lineales. Demostramos que, en algunos casos, se puede reducir un sistema de ecuaciones no lineal a una sola ecuación para una de las variables de estado, y esto puede ser útil para calcular la solución cuando se utilizan diversas aproximaciones analíticas. En el caso de que esta reducción sea posible, empleamos la eliminación diferencial para obtener el sistema reducido. Aunque es analítico, el enfoque es algorítmico y se implementa en software simbólico como MAPLE o SageMath. En otros casos, la reducción no puede realizarse estrictamente en términos de operadores diferenciales, y se obtienen operadores integrodiferenciales, que pueden seguir siendo útiles. En cualquier caso, se puede utilizar la ecuación reducida tanto para aproximar soluciones para las variables de estado como para realizar diagnósticos de caos de forma más eficiente de lo que se podría hacer para el sistema original de mayor dimensión, así como para construir funciones de Lyapunov que ayuden en el estudio de las variables de estado en tiempos largos. Se utilizan varios sistemas dinámicos caóticos e hipercaóticos como ejemplos para motivar el enfoque.