Resuelve la siguiente ecuación por el método de reducción
En esta sección, presentaremos un algoritmo para “resolver” un sistema de ecuaciones lineales.Resolveremos sistemas de ecuaciones lineales algebraicamente utilizando el método de eliminación. Es decir, combinaremos las ecuaciones de diversas formas para intentar eliminar el mayor número de variables posible de cada ecuación. Hay tres operaciones válidas que podemos realizar en nuestro sistema de ecuaciones:
Esto se llama una matriz aumentada. La palabra “aumentada” se refiere a la línea vertical, que dibujamos para recordar dónde está el signo de igualdad; una matriz es una cuadrícula de números sin la línea vertical. En esta notación, nuestras tres formas válidas de manipular nuestras ecuaciones se convierten en operaciones de fila:
Por supuesto, esto no significa que la segunda fila sea igual a la segunda fila menos el doble de la primera. En cambio, significa que estamos sustituyendo la segunda fila por la segunda fila menos el doble de la primera. Este tipo de sintaxis se utiliza con frecuencia en la programación informática cuando queremos cambiar el valor de una variable.
Método de reducción en matemáticas
Este artículo analiza la solución de ecuaciones matriciales lineales a gran escala mediante el método de reducción de dimensión inducida (IDR(s)). IDR(s) se presentó originalmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y se basa en el teorema de IDR(s). Nosotros generalizamos el teorema IDR(s) para resolver problemas lineales en cualquier espacio de dimensión finita. Esta generalización nos permite desarrollar algoritmos IDR(s) para aproximar la solución de ecuaciones lineales matriciales. El método IDR(s) presentado aquí tiene dos ventajas principales; en primer lugar, no requiere el cálculo de las inversiones de ninguna matriz, y en segundo lugar, permite incorporar precondicionadores. Además, presentamos un precondicionador sencillo para resolver la ecuación de Sylvester basado en una iteración de punto fijo. Varios ejemplos numéricos ilustran el rendimiento de IDR(s) para resolver ecuaciones matriciales lineales. También presentamos la implementación del software.
Este artículo analiza la solución de ecuaciones matriciales lineales a gran escala utilizando el método de reducción de la dimensión inducida (IDR(s)). IDR(s) se presentó originalmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y se basa en el teorema IDR(s). Nosotros generalizamos el teorema IDR(s) para resolver problemas lineales en cualquier espacio de dimensión finita. Esta generalización nos permite desarrollar algoritmos IDR(s) para aproximar la solución de ecuaciones lineales matriciales. El método IDR(s) presentado aquí tiene dos ventajas principales; en primer lugar, no requiere el cálculo de las inversiones de ninguna matriz, y en segundo lugar, permite incorporar precondicionadores. Además, presentamos un precondicionador sencillo para resolver la ecuación de Sylvester basado en una iteración de punto fijo. Varios ejemplos numéricos ilustran el rendimiento de IDR(s) para resolver ecuaciones matriciales lineales. También presentamos la implementación del software.
Ejemplos de métodos de reducción
Desarrollamos un método de reducción de modelos por descomposición de dominios para ecuaciones lineales de convección-difusión en estado estacionario con coeficientes aleatorios. De particular interés para este esfuerzo son la ecuación de difusión con difusividad aleatoria y la ecuación de transporte dominada por la convección con velocidad aleatoria. Investigamos dos tipos de campos aleatorios, es decir, los ruidos de color y los ruidos blancos discretos, que pueden conducir a una dependencia paramétrica de alta dimensión en la práctica. La motivación es explotar la descomposición de dominios para reducir la dimensión paramétrica de los problemas locales en subdominios, de tal manera que un mapa paramétrico completo pueda ser aproximado con un pequeño número de costosas simulaciones de ecuaciones diferenciales parciales (EDP). El nuevo método combina la descomposición de dominios con la reducción de modelos y la aproximación polinómica dispersa, de forma que se pueda manejar simultáneamente la alta dimensionalidad y el comportamiento irregular de las EDP consideradas. Las ventajas de nuestro método residen en tres aspectos: (i) la descomposición online-offline, es decir, el coste online es independiente del tamaño de la malla triangular; (ii) la aproximación dispersa de operadores que implican campos aleatorios no afines de alta dimensión; (iii) una estrategia eficaz para capturar comportamientos irregulares, por ejemplo, transiciones bruscas de las soluciones de la EDP. Se proporcionan dos ejemplos numéricos para demostrar el ventajoso rendimiento de nuestro método.
Método de reducción en la integración
En este trabajo proponemos un nuevo método de reducción para los cálculos de equilibrio de fases utilizando una forma general de ecuaciones de estado cúbicas (CEOS). El término de energía en las CEOS es una forma cuadrática, que se diagonaliza aplicando una transformación lineal. El número de parámetros de reducción está relacionado con el rango de la matriz C con elementos (1-Cij), donde Cij denota los parámetros de interacción binarios (BIP). La dimensionalidad del problema depende únicamente del número de parámetros de reducción, y es independiente del número de componentes de la mezcla.
En este trabajo proponemos un nuevo método de reducción para los cálculos de equilibrio de fases utilizando una forma general de ecuaciones de estado cúbicas (CEOS). El término de energía en las CEOS es una forma cuadrática, que se diagonaliza aplicando una transformación lineal. El número de parámetros de reducción está relacionado con el rango de la matriz C con elementos (1-Cij), donde Cij denota los parámetros de interacción binarios (BIP). La dimensionalidad del problema depende únicamente del número de parámetros de reducción, y es independiente del número de componentes de la mezcla.