Conjunto igual a otro, Sistemas de ecuaciones lineales, nº 1
Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales por medio de gráficos y por sustitución. La gráfica funciona bien cuando los coeficientes de las variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. La sustitución funciona bien cuando podemos resolver fácilmente una ecuación para una de las variables y no tener demasiadas fracciones en la expresión resultante.
El tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales se llama Método de Eliminación. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, empezamos con dos ecuaciones y dos variables y lo redujimos a una ecuación con una variable. Esto es lo que haremos también con el método de eliminación, pero tendremos una forma diferente de llegar a él.
El método de eliminación se basa en la propiedad de adición de la igualdad. La propiedad de adición de la igualdad dice que cuando se agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, se mantiene la igualdad. Extenderemos la propiedad de igualdad de la adición para decir que cuando se añaden cantidades iguales a ambos lados de una ecuación, los resultados son iguales.
Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, empezamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Luego decidimos qué variable será más fácil de eliminar. ¿Cómo lo decidimos? Queremos que los coeficientes de una variable sean opuestos, para poder sumar las ecuaciones y eliminar esa variable.
ÁLGEBRA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON
Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es un grupo de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias ecuaciones, pero no es necesario que estén en todas ellas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar todas las incógnitas entre sí. Por ejemplo,
No siempre hay una solución e incluso puede haber un número infinito de soluciones. Si sólo hay una solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior), se dice que el sistema es un sistema dependiente consistente. No hablaremos de otros tipos de sistemas.
Para resolver un sistema dependiente consistente, necesitamos al menos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. En este apartado resolveremos sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas con los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado (una ecuación lineal).
172. algebra: sistemas de ecuaciones (método de igualación)
No siempre hay una solución o puede haber infinitas soluciones. Si sólo hay una solución (un valor para cada incógnita, como el ejemplo anterior) decimos que el sistema es dependiente consistente. No hablaremos de los otros tipos porque en esta sección sólo estudiaremos los sistemas dependientes consistentes.
2. Para resolver un sistema (dependiente consistente) necesitamos al menos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. En este apartado resolveremos sistemas (lineales) de dos ecuaciones y dos incógnitas con los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado:
Calculadora del método de ecualización
En matemáticas, el método de igualación de los coeficientes es una forma de resolver una ecuación funcional de dos expresiones como polinomios para un número de parámetros desconocidos. Se basa en el hecho de que dos expresiones son idénticas precisamente cuando los coeficientes correspondientes son iguales para cada tipo de término. El método se utiliza para llevar las fórmulas a la forma deseada.
En este punto es esencial darse cuenta de que el polinomio 1 es de hecho igual al polinomio 0x2 + 0x + 1, teniendo coeficientes nulos para las potencias positivas de x. Igualando los coeficientes correspondientes se obtiene ahora este sistema de ecuaciones lineales:
Para comprobar si la tercera ecuación depende linealmente de las dos primeras, postula dos parámetros a y b tales que a por la primera ecuación más b por la segunda ecuación sea igual a la tercera ecuación. Como esto siempre se cumple para los lados derechos, todos los cuales son 0, sólo tenemos que exigir que también se cumpla para los lados izquierdos:
El único par de valores a, b que satisface las dos primeras ecuaciones es (a, b) = (1, 1); puesto que estos valores también satisfacen la tercera ecuación, de hecho existen a, b tales que a por la primera ecuación original más b por la segunda ecuación original es igual a la tercera ecuación original; concluimos que la tercera ecuación depende linealmente de las dos primeras.