Cómo resolver sistemas lineales
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Las aplicaciones del mundo real se modelan a menudo utilizando más de una variable y más de una ecuación. En esta sección, estudiaremos los sistemas lineales que constan de tres ecuaciones lineales con tres variables cada una. Por ejemplo,
Resolución de ecuaciones lineales con 2 variables
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Esta va a ser una sección bastante corta en el sentido de que realmente sólo va a consistir en un par de ejemplos para ilustrar cómo tomar los métodos de la sección anterior y utilizarlos para resolver un sistema lineal con tres ecuaciones y tres variables.
Vamos a tratar de encontrar los valores de \ (x\), \ (y\), y un \ (z\) que satisfaga las tres ecuaciones al mismo tiempo. Vamos a utilizar la eliminación para eliminar una de las variables de una de las ecuaciones y dos de las variables de otra de las ecuaciones. La razón para hacer esto será evidente una vez que lo hayamos hecho.
Resolver un sistema de 5 ecuaciones
Juan recibió una herencia de $12,000 que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan 4% de interés anual; y en fondos mutuos que pagan 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación gaussiana, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no hay un orden definitivo en el que se deben realizar las operaciones, sí hay pautas específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden hacer. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. El objetivo es eliminar una variable cada vez para conseguir la forma triangular superior, que es la forma ideal para un sistema de tres por tres, ya que permite una sustitución posterior directa para encontrar una solución que llamamos triple ordenada. Un sistema en forma triangular superior tiene el siguiente aspecto:
Solucionador de ecuaciones en línea
En esta sección, ampliaremos nuestro trabajo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Hasta ahora hemos trabajado con sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos variables. Ahora trabajaremos con sistemas de tres ecuaciones con tres variables. Pero primero vamos a repasar lo que ya sabemos sobre la resolución de ecuaciones y sistemas que implican hasta dos variables.
Antes aprendimos que la gráfica de una ecuación lineal, \(ax+by=c\), es una recta. Cada punto de la recta, un par ordenado \((x,y)\N, es una solución de la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, graficamos dos rectas. Entonces podemos ver que todos los puntos que son soluciones de cada ecuación forman una recta. Y, al encontrar lo que las rectas tienen en común, encontraremos la solución del sistema.
La mayoría de las ecuaciones lineales en una variable tienen una solución, pero vimos que algunas ecuaciones, llamadas contradictorias, no tienen soluciones y para otras ecuaciones, llamadas identidades, todos los números son soluciones
Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones de las tres ecuaciones. En otras palabras, buscamos la triple ordenada \((x,y,z)\Nque hace que las tres ecuaciones sean verdaderas. Estas son las soluciones del sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables.