Ecuación diferencial de segundo orden en serie de potencia
Ejemploscolapsar todosResolver ecuación diferencial Abrir script en vivoResolver la ecuación diferencial de primer orden dydt=ay.Especifique la derivada de primer orden usando diff y la ecuación usando ==. Luego, resuelva la ecuación usando dsolve.syms y(t) a
S = dsolve(eqn)S = C1 ea tLa solución incluye una constante. Para eliminar las constantes, consulta Resolver ecuaciones diferenciales con condiciones. Para obtener un flujo de trabajo completo, consulte Resolución de ecuaciones diferenciales parciales.Resolver ecuación diferencial de segundo orden Abrir script en vivoResolver la ecuación diferencial de segundo orden d2ydt2=ay.Especifique la derivada de segundo orden de y mediante diff(y,t,2) y la ecuación mediante ==. A continuación, resuelva la ecuación mediante dsolve.syms y(t) a
ySol(t) = dsolve(eqn)ySol(t) = C1 e-a t+C2 ea tResolver ecuaciones diferenciales con condiciones Open Live ScriptResuelve la ecuación diferencial de primer orden dydt=ay con la condición inicial y(0)=5.Especifica la condición inicial como segunda entrada a dsolve utilizando el operador ==. La especificación de la condición elimina las constantes arbitrarias, como C1, C2, …, de la solución.syms y(t) a
Encuentra una solución en serie de potencias de la ecuación diferencial dada
Nuestro siguiente objetivo es simplificar esta expresión de forma que sólo quede un signo de suma “”. El obstáculo que encontramos es que las potencias de ambas sumas son diferentes, tn-2 para la primera suma y tn para la segunda. Las igualamos desplazando el índice de la primera suma en 2 unidades para obtener
A continuación necesitamos un resultado que probablemente ya conozcas en el caso de los polinomios: Un polinomio es idéntico a cero si y sólo si todos sus coeficientes son iguales a cero. Este resultado también es válido para las series de potencias:
El método de las soluciones en serie se utiliza principalmente para encontrar soluciones en serie de potencias de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones no pueden escribirse en términos de funciones familiares como polinomios, funciones exponenciales o trigonométricas. Esto significa que, en general, no podrás realizar los últimos pasos de lo que acabamos de hacer (¡menos preocupaciones!), lo único que podemos intentar es llegar a una expresión general para los coeficientes de las soluciones de las series de potencias.
Nuestro siguiente objetivo es simplificar esta expresión de forma que sólo quede un signo de suma “”. El obstáculo que encontramos es que las potencias de las tres sumas son diferentes, tn-2 para la primera suma tn-1 para la segunda y tn para la tercera. Las igualamos desplazando el índice de las dos primeras sumas para obtener
Calculadora de solución de series de potencia de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones de primer orden. La validez de la diferenciación término a término de una serie de potencias dentro de su intervalo de convergencia implica que las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden resolverse suponiendo una solución de la forma
Como no hay ninguna restricción sobre c 0, c 0 es una constante arbitraria, y ya se sabe que c 1 = 0. La relación de recurrencia anterior dice que c 2 = ½ c 0 y c 3 = ⅓ c 1, que es igual a 0 (porque c 1 lo es). De hecho, es fácil ver que todo coeficiente c n con n impar será cero. En cuanto a c 4, la relación de recurrencia dice
Nótese que la solución general contiene un parámetro ( c 0), como se espera para una ecuación diferencial de primer orden. Esta serie de potencias es inusual porque es posible expresarla en términos de una función elemental. Obsérvese:
Es fácil comprobar que y = c 0 e x2 / 2 es efectivamente la solución de la ecuación diferencial dada, y′ = xy. Recuerda: La mayoría de las series de potencias no se pueden expresar en términos de funciones elementales conocidas, por lo que la respuesta final quedaría en forma de serie de potencias.
Solución de la serie de potencias sobre x=1
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Antes de entrar en la búsqueda de soluciones en serie a las ecuaciones diferenciales necesitamos determinar cuándo podemos encontrar soluciones en serie a las ecuaciones diferenciales. Así pues, empecemos con la ecuación diferencial,
Esta vez nos referimos realmente a coeficientes no constantes. Hasta ahora sólo hemos tratado con coeficientes constantes. Sin embargo, con las soluciones en serie podemos tener ahora ecuaciones diferenciales de coeficientes no constantes. Además, para hacer los problemas un poco más agradables vamos a tratar sólo con coeficientes polinómicos.
son analíticas en \N(x=x_{0}\N). Es decir, estas dos magnitudes tienen series de Taylor en torno a \(x=x_{0}\). Vamos a tratar sólo con los coeficientes que son polinomios por lo que esto será equivalente a decir que