Calculadora de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales
donde x1(t), x2(t), …, xn(t) son funciones desconocidas de la variable t, que a menudo tiene el significado de tiempo, aij son ciertos coeficientes constantes, que pueden ser reales o complejos, fi (t) son funciones dadas (en el caso general, de valor complejo) de la variable t.
Utilizando el método de eliminación, un sistema lineal normal de \(n\) ecuaciones puede reducirse a una única ecuación lineal de \(n\)º orden. Este método es útil para sistemas sencillos, especialmente para sistemas de orden \(2.\)
En particular, si los coeficientes \_{12}} y \_{21}} tienen el mismo signo, entonces el discriminante de la ecuación característica será siempre positivo y, por tanto, las raíces serán reales y distintas.
El método de eliminación puede aplicarse no sólo a los sistemas lineales homogéneos. También puede utilizarse para resolver sistemas no homogéneos de ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones con coeficientes variables.
Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos
solución.Sistemas sobredeterminadosAbrir Live ScriptEste ejemplo muestra cómo los sistemas sobredeterminados se encuentran a menudo en varios tipos de ajuste de curvas a los datos experimentales.Una cantidad y se mide en varios valores diferentes de tiempo t para producir las siguientes observaciones. Puede introducir los datos y visualizarlos en una tabla con las siguientes afirmaciones.t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]’;
Intenta modelar los datos con una función exponencial decrecientey(t)=c1+c2e-t.La ecuación anterior dice que el vector y debe ser aproximado por una combinación lineal de otros dos vectores. Uno es un vector constante que contiene todos los unos y el otro es el vector con componentes exp(-t). Los coeficientes desconocidos, c1 y c2, pueden calcularse haciendo un ajuste por mínimos cuadrados, que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto al modelo. Hay seis ecuaciones en dos incógnitas, representadas por una matriz de 6 por 2.E = [ones(size(t)) exp(-t)]E = 6×2
plot(T,Y,’-‘,t,y,’o’)E*c no es exactamente igual a y, pero la diferencia podría ser menor que los errores de medición en los datos originales.Una matriz rectangular A es de rango deficiente si no tiene columnas linealmente independientes. Si A tiene un rango deficiente, la solución por mínimos cuadrados de AX = B no es única. A\B emite una advertencia si A tiene un rango deficiente y produce una solución de mínimos cuadrados. Puede utilizar lsqminnorm para encontrar la solución X que tiene la norma mínima entre todas las soluciones.Sistemas subdeterminadosEste ejemplo muestra cómo la solución de los sistemas subdeterminados no es única. Los sistemas lineales subdeterminados implican más incógnitas que ecuaciones. La operación de división matricial a la izquierda en MATLAB encuentra una solución básica de mínimos cuadrados, que tiene como máximo m componentes no nulos para una matriz de m por n coeficientes.He aquí un pequeño ejemplo aleatorio:R = [6 8 7 3; 3 5 4 1]
Sistema de ecuaciones lineales homogéneo y no homogéneo
En el sistema homogéneo de ecuaciones lineales, el término constante de cada ecuación es igual a 0. Es decir, ninguna ecuación de estos sistemas tiene un término constante. Un sistema lineal homogéneo puede tener una o infinitas soluciones. Pero siempre tiene al menos una solución.
Se trata de un sistema en ‘n’ incógnitas (x₁, x₂, …, xₙ), y en cada ecuación, el término constante es 0. Cuando resolvemos estos sistemas utilizando matrices (escribiendo matriz aumentada), no hay cambios en la última columna (que está formada por ceros) aunque cuando se aplican operaciones de fila. Así, al resolver un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, solemos ignorar la columna de ceros de la matriz aumentada y sólo escribimos la matriz de coeficientes. He aquí algunos ejemplos:
Un sistema homogéneo puede tener dos tipos de soluciones: soluciones triviales y soluciones no triviales. Como no hay ningún término constante presente en los sistemas homogéneos, (x₁, x₂, …, xₙ) = (0, 0, …, 0) es obviamente una solución del sistema y se llama solución trivial (la solución más obvia). Por ejemplo, el sistema formado por tres ecuaciones x + y + z = 0, y – z = 0, y x + 2y = 0 tiene la solución trivial (x, y, z) = (0, 0, 0). Pero puede (o no) tener otras soluciones además de las triviales que se llaman soluciones no triviales. Podemos encontrarlas utilizando el método matricial y aplicando operaciones de fila.
Sistema homogéneo de ecuaciones lineales pdf
Hay un tipo especial de sistema que requiere un estudio adicional. Este tipo de sistema se llama sistema de ecuaciones homogéneo, que definimos anteriormente en la definición 1.2.3. Nuestro objetivo en esta sección es considerar qué tipos de soluciones son posibles para un sistema de ecuaciones homogéneo.
Consideremos el sistema homogéneo de ecuaciones dado por \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}= 0 \\\\c a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}= 0 \\cdots \cdots a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}= 0 \end{ray}nonumber \cdots] Entonces, \ (x_{1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0\) es siempre una solución de este sistema. La llamamos solución trivial.
Si el sistema tiene una solución en la que no todos los \cdots (x_1, \cdots, x_n\) son iguales a cero, entonces llamamos a esta solución no trivial . ¡La solución trivial no nos dice mucho sobre el sistema, ya que dice que \(0=0\)! Por lo tanto, al trabajar con sistemas de ecuaciones homogéneos, queremos saber cuándo el sistema tiene una solución no trivial.