Vectores
En esta lección aprenderemos uno de los usos de las matrices inversas y sus propiedades. Te darás cuenta de cómo podemos utilizarlas para hacer cálculos con los que ya estamos familiarizados, pero con un nuevo enfoque, así que prepárate para divertirte un poco más con las matemáticas.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por eliminación es uno de los métodos más sencillos de seguir. El principio básico de esta técnica se basa en sumar o restar una ecuación de la otra y así eliminar rápidamente una de las variables, reduciendo así la cantidad de variables a resolver en un sistema. Cuando sólo hay dos variables desconocidas en un sistema, la eliminación de una por adición o sustracción de ecuaciones permite resolver la que queda de forma sencilla. Aunque la resolución de sistemas lineales de ecuaciones por eliminación es probablemente el método más sencillo, no siempre es el más práctico, por lo que esta técnica se deja para sistemas con ecuaciones que contienen el mismo coeficiente en una de sus variables.
El segundo método consiste en resolver sistemas de ecuaciones lineales por sustitución. La sustitución significa que utilizamos una de las ecuaciones del sistema para resolver una de sus variables. Una vez que tienes una expresión igual a la variable seleccionada, sustituyes esta expresión en las otras ecuaciones en el lugar de la variable correspondiente. Al hacer esto se reduce la cantidad de variables desconocidas en el sistema, y si dicho sistema está compuesto por sólo dos ecuaciones, se termina con una ecuación en términos de la otra variable que puede ser resuelta rápidamente hasta su resultado final.
3blue1brown álgebra lineal
solución.Sistemas sobredeterminadosAbrir Live ScriptEste ejemplo muestra cómo los sistemas sobredeterminados se encuentran a menudo en varios tipos de ajuste de curvas a los datos experimentales.Una cantidad y se mide en varios valores diferentes de tiempo t para producir las siguientes observaciones. Puede introducir los datos y visualizarlos en una tabla con las siguientes afirmaciones.t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]’;
Intenta modelar los datos con una función exponencial decrecientey(t)=c1+c2e-t.La ecuación anterior dice que el vector y debe ser aproximado por una combinación lineal de otros dos vectores. Uno es un vector constante que contiene todos los unos y el otro es el vector con componentes exp(-t). Los coeficientes desconocidos, c1 y c2, pueden calcularse haciendo un ajuste por mínimos cuadrados, que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto al modelo. Hay seis ecuaciones en dos incógnitas, representadas por una matriz de 6 por 2.E = [ones(size(t)) exp(-t)]E = 6×2
plot(T,Y,’-‘,t,y,’o’)E*c no es exactamente igual a y, pero la diferencia podría ser menor que los errores de medición en los datos originales.Una matriz rectangular A es de rango deficiente si no tiene columnas linealmente independientes. Si A tiene un rango deficiente, la solución por mínimos cuadrados de AX = B no es única. A\B emite una advertencia si A tiene un rango deficiente y produce una solución de mínimos cuadrados. Puede utilizar lsqminnorm para encontrar la solución X que tiene la norma mínima entre todas las soluciones.Sistemas subdeterminadosEste ejemplo muestra cómo la solución de los sistemas subdeterminados no es única. Los sistemas lineales subdeterminados incluyen más incógnitas que ecuaciones. La operación de división matricial a la izquierda en MATLAB encuentra una solución básica de mínimos cuadrados, que tiene como máximo m componentes no nulos para una matriz de m por n coeficientes.He aquí un pequeño ejemplo aleatorio:R = [6 8 7 3; 3 5 4 1]
Resolver el cubo de rubik 2×2
En el apartado anterior, hemos comprobado que los pares ordenados son soluciones potenciales de los sistemas, y hemos utilizado las gráficas para clasificar cuántas soluciones tiene un sistema de dos ecuaciones lineales. ¿Qué pasa si no se nos da un punto de intersección, o no es obvio a partir de una gráfica? ¿Podemos encontrar una solución al sistema? Por supuesto que sí, utilizando el álgebra.
En esta sección aprenderemos el método de sustitución para encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales en dos variables. Hemos utilizado la sustitución de diferentes maneras a lo largo de este curso. Por ejemplo, cuando usábamos fórmulas, sustituíamos valores que conocíamos en la fórmula para resolver valores que no conocíamos. La idea es similar cuando se aplica a la resolución de sistemas, sólo hay algunos pasos diferentes en el proceso. Primero resolverás una variable y luego sustituirás esa expresión en la otra ecuación. Empecemos con un ejemplo para ver qué significa esto.
El problema nos pide que resolvamos x. Observa que no necesitaremos resolver para [latex]y[/latex] ya que la segunda ecuación ya nos da el valor de [latex]y[/latex] como [latex]y=2[/latex]. Por tanto, puedes sustituir 2 en la primera ecuación para [latex]y[/latex].
Álgebra lineal
La forma en que fluye un río depende de muchas variables, como el tamaño del río, la cantidad de agua que contiene, el tipo de cosas que flotan en el río, si llueve o no, etc. Si quieres describir mejor su caudal, debes tener en cuenta estas otras variables. Un sistema de ecuaciones lineales puede ayudar a ello.
Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Encontrarás sistemas de ecuaciones en todas las aplicaciones de las matemáticas. Son una herramienta útil para descubrir y describir cómo se interrelacionan los comportamientos o procesos. Es raro encontrar, por ejemplo, un patrón de flujo de tráfico que sólo se vea afectado por el clima. Los accidentes, la hora del día y los grandes eventos deportivos son sólo algunas de las otras variables que pueden afectar al flujo del tráfico en una ciudad. En esta sección, exploraremos algunos principios básicos para graficar y describir la intersección de dos líneas que conforman un sistema de ecuaciones.