Matriz de solución única
Un fabricante de monopatines introduce una nueva línea de tablas. El fabricante hace un seguimiento de sus costes, que es la cantidad que gasta para producir las tablas, y de sus ingresos, que es la cantidad que gana con las ventas de sus tablas. ¿Cómo puede determinar la empresa si está obteniendo beneficios con su nueva línea? ¿Cuántas tablas de skate deben producirse y venderse para obtener beneficios? En esta sección, consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder a estas y otras preguntas similares.
Para investigar situaciones como la del fabricante de monopatines, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales sin solución
Laura obtuvo su maestría en Matemáticas Puras en la Universidad Estatal de Michigan, y su licenciatura en Matemáticas en la Universidad Estatal de Grand Valley. Tiene 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias en varias instituciones.
GraficaciónEl conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones puede considerarse como el conjunto de todos los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones del sistema. Si el sistema no tiene solución, entonces no hay puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones del sistema, por lo que las gráficas de las ecuaciones nunca deben intersecarse. Por lo tanto, si graficamos todas las ecuaciones de nuestro sistema y observamos que nunca se cruzan, entonces sabemos que tenemos un sistema inconsistente. Veamos nuestro ejemplo. Graficamos las dos ecuaciones en la misma gráfica como se muestra:
Vemos que las gráficas son líneas paralelas, por lo que nunca se cruzan, así que sabemos que el sistema es inconsistente y no tiene solución. Es importante señalar que a veces las gráficas pueden ser engañosas. Por ejemplo, considera este sistema de ecuaciones y sus gráficas:
Sistema de ecuaciones lineales con soluciones infinitas
Un fabricante de monopatines introduce una nueva línea de tablas. El fabricante hace un seguimiento de sus costes, que es la cantidad que gasta para producir las tablas, y de sus ingresos, que es la cantidad que gana con las ventas de sus tablas. ¿Cómo puede determinar la empresa si está obteniendo beneficios con su nueva línea? ¿Cuántas tablas de skate deben producirse y venderse para obtener un beneficio? En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder a estas y otras preguntas similares.
Para investigar situaciones como la del fabricante de monopatines, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
Cómo resolver sistemas lineales
Si un sistema de ecuaciones consiste sólo en un par de ecuaciones lineales de dos variables, entonces la ecuación de este sistema se puede graficar; la gráfica contendrá dos rectas, y la solución del sistema será el punto o puntos de intersección de esas rectas. Dado que dos rectas en el plano sólo pueden graficarse de tres maneras, sólo hay tres formas correspondientes de solución para un sistema de ecuaciones dado.
Dos rectas (1) tienen diferentes pendientes e intersecciones, por lo que se cruzan exactamente en un punto, (2) son paralelas con diferentes intersecciones, por lo que nunca se cruzan en ningún punto, o (3) tienen la misma pendiente e intersecciones, por lo que son realmente la misma línea, por lo que se “cruzan” en todas partes (donde “en todas partes” significa que “en todas partes la línea va, también va la otra línea; tienen todos sus puntos – infinitamente muchos puntos – en común”). Estos tres casos de pares de rectas se ilustran a continuación:
El primer gráfico de arriba, que es el “caso 1” de la columna de la izquierda, muestra dos rectas distintas no paralelas que se cruzan exactamente en un punto. El sistema de ecuaciones correspondiente se denomina sistema “independiente” y la solución es un único punto (x,y).