Resolver el sistema por el método de la calculadora de reducción
En esta sección, presentaremos un algoritmo para “resolver” un sistema de ecuaciones lineales.Resolveremos sistemas de ecuaciones lineales algebraicamente utilizando el método de eliminación. Es decir, combinaremos las ecuaciones de diversas formas para intentar eliminar el mayor número de variables posible de cada ecuación. Hay tres operaciones válidas que podemos realizar en nuestro sistema de ecuaciones:
Esto se llama matriz aumentada. La palabra “aumentada” se refiere a la línea vertical, que dibujamos para recordar dónde está el signo de igualdad; una matriz es una cuadrícula de números sin la línea vertical. En esta notación, nuestras tres formas válidas de manipular nuestras ecuaciones se convierten en operaciones de fila:
Por supuesto, esto no significa que la segunda fila sea igual a la segunda fila menos el doble de la primera. En cambio, significa que estamos sustituyendo la segunda fila por la segunda fila menos el doble de la primera. Este tipo de sintaxis se utiliza con frecuencia en la programación informática cuando queremos cambiar el valor de una variable.
Método de reducción en matriz
Vamos a resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma algebraica utilizando el método de eliminación. Es decir, combinaremos las ecuaciones de diversas formas para intentar eliminar el mayor número de variables posible de cada ecuación. Hay tres operaciones válidas que podemos realizar en nuestro sistema de ecuaciones:
En este punto hemos eliminado tanto \(x\) como \(y\) de la tercera ecuación, y podemos resolver \(10z=30\) para obtener \(z=3\). Sustituyendo por \(z\) en la segunda ecuación se obtiene \(y+2\cdot3=4\text{,}\) o \(y=-2\). Sustituyendo \(y\) y \(z\) en la primera ecuación da \(x + 2\cdot(-2) + 3\cdot3 = 6\text{,}) o \(x=3\). Por lo tanto, la única solución es \((x,y,z)=(1,-2,3)\N.)
Resolver las ecuaciones por eliminación requiere escribir las variables \(x,y,z\) y el signo de igualdad \(=\) una y otra vez, simplemente como marcadores de posición: lo único que cambia en las ecuaciones son los números de los coeficientes. Podemos facilitarnos la vida extrayendo sólo los números y poniéndolos en una caja:
Esto se llama matriz aumentada. La palabra “aumentada” se refiere a la línea vertical, que dibujamos para recordar dónde está el signo de igualdad; una matriz es una cuadrícula de números sin la línea vertical. En esta notación, nuestras tres formas válidas de manipular nuestras ecuaciones se convierten en operaciones de fila:
Método de reducción de filas para resolver un sistema de ecuaciones
Vamos a resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma algebraica utilizando el método de eliminación. Es decir, combinaremos las ecuaciones de diversas formas para intentar eliminar el mayor número de variables posible de cada ecuación. Hay tres operaciones válidas que podemos realizar en nuestro sistema de ecuaciones:
Esto se llama matriz aumentada. La palabra “aumentada” se refiere a la línea vertical, que dibujamos para recordarnos dónde está el signo de igualdad; una matriz es una cuadrícula de números sin la línea vertical.Matrices aumentadas de ecuaciones vectoriales
Por supuesto, esto no significa que la segunda fila sea igual a la segunda fila menos el doble de la primera. En cambio, significa que estamos sustituyendo la segunda fila por la segunda fila menos el doble de la primera. Este tipo de sintaxis se utiliza con frecuencia en la programación informática cuando queremos cambiar el valor de una variable.
El proceso de hacer operaciones de fila a una matriz no cambia el conjunto de soluciones de las ecuaciones lineales correspondientes, de hecho, el objetivo de hacer estas operaciones es resolver las ecuaciones utilizando el método de eliminación.
Método de reducción en la integración
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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por la siguiente tripleta ordenada.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo puede aproximarse mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.