Sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
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En la introducción de esta sección hemos discutido brevemente cómo puede surgir un sistema de ecuaciones diferenciales a partir de un problema de población en el que llevamos la cuenta de la población tanto de la presa como del depredador. Es lógico que el número de presas presentes afecte al número de depredadores presentes. Del mismo modo, el número de depredadores presentes afectará al número de presas presentes. Por lo tanto, la ecuación diferencial que gobierna la población de la presa o del depredador debe depender de alguna manera de la población del otro. Esto dará lugar a dos ecuaciones diferenciales que deben resolverse simultáneamente para determinar la población de la presa y del depredador.
Transformación de ecuaciones diferenciales en sistemas de primer orden
Anteriormente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de \( v_0\) pies/s, entonces un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de \( t\) segundos está dado por
La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto está subiendo, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente (Figura \( \PageIndex{1}\)). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a alguna constante \( k\) por \( v\). Para objetos más grandes (por ejemplo, del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a \( v^{1,5}\), o \( v^{0,9}\), o alguna otra potencia de \( v\).
Calculadora de sistemas de ecuaciones diferenciales
Una vez resuelta esta ecuación diferencial lineal de segundo orden en x(t), podemos volver a la expresión de y(t) en términos de x'(t) y x(t) para obtener una solución para y(t). (También podríamos haber empezado aislando x(t) en la segunda ecuación y creando una ecuación de segundo orden en y(t)).
donde A0 es la matriz identidad (y 0! = 1). (Ya sabes cómo multiplicar matrices entre sí, así que sabes cómo calcular el lado derecho de esta ecuación). Ya está. Ahora puedes encontrar la solución de cualquier sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales… suponiendo que puedas calcular la suma infinita en la definición de eAt. En
Doy sólo un ejemplo, que muestra cómo las funciones trigonométricas pueden surgir en la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales simultáneas, que, como vimos anteriormente, es equivalente a una ecuación de segundo orden.
Se pide, en un ejercicio, que se verifique esta solución utilizando la técnica comentada al principio de esta sección para convertir el sistema de dos ecuaciones en una única ecuación diferencial lineal de segundo orden.
Ecuación diferencial del sistema fundamental
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es la de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o, de forma equivalente, \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntexto. Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.