Ejemplos de expresiones algebraicas lineales
Un sistema indeterminado es un sistema de ecuaciones simultáneas (especialmente ecuaciones lineales) que tiene más de una solución. Se puede decir que el sistema está indeterminado. Si el sistema es lineal, la presencia de más de una solución implica que hay un número infinito de soluciones, pero esta propiedad no se extiende a los sistemas no lineales.
Un sistema indeterminado es consistente, lo que implica que existe al menos una solución. Para un sistema de ecuaciones lineales, el número de ecuaciones de un sistema indeterminado puede ser igual al número de incógnitas, menor que el número de incógnitas (un sistema infradeterminado) o mayor que el número de incógnitas (un sistema sobredeterminado). Por el contrario, cualquiera de estos tres casos puede ser indeterminado o no.
En los sistemas lineales, la indeterminación se produce si y sólo si el número de ecuaciones independientes (el rango de la matriz aumentada del sistema) es menor que el número de incógnitas y es igual al rango de la matriz de coeficientes. Porque si hay al menos tantas ecuaciones independientes como incógnitas, eso eliminará cualquier tramo de superposición de las superficies de las ecuaciones en el espacio geométrico de las incógnitas (aparte de un posible punto único); y si el rango de la matriz aumentada supera (necesariamente en uno, si es que lo hace) el rango de la matriz de coeficientes, entonces las ecuaciones se contradicen conjuntamente.
Formas indeterminadas
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Las matrices se representan en GAP mediante listas de vectores de fila (véase 23) (para futuros cambios en esta política, véase el capítulo 26). Los vectores deben tener todos la misma longitud y sus elementos deben estar en un anillo común. Sin embargo, dado que la comprobación de la rectangularidad puede ser costosa, las funciones y los métodos de las operaciones con matrices a menudo no dan un mensaje de error para las listas de listas no rectangulares, en cuyo caso el resultado es indefinido.
Dado que las matrices no son más que un caso especial de las listas, todas las operaciones y funciones para listas son aplicables también a las matrices (véase el capítulo 21). Esto incluye especialmente el acceso a los elementos de una matriz (véase 21.3), el cambio de elementos de una matriz (véase 21.4) y la comparación de matrices (véase 21.10).
Observe que, dado que una matriz es una lista de listas, el comportamiento de ShallowCopy (12.7-1) para matrices es sólo un caso especial de ShallowCopy (12.7-1) para listas (véase 21.7); si se llama con una matriz inmutable mat, ShallowCopy (12.7-1) devuelve una matriz mutable cuyas filas son idénticas a las de mat. En particular, las filas siguen siendo inmutables. Para obtener una matriz cuyas filas son mutables, se puede utilizar List( mat, ShallowCopy ).
Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas, especialmente en álgebra, un sistema indeterminado es un sistema de ecuaciones simultáneas (por ejemplo En el caso de un sistema lineal, se puede decir que el sistema está indeterminado, en cuyo caso la presencia de más de una solución implicaría un número infinito de soluciones (ya que el sistema sería descriptible en términos de al menos una variable libre[2]), pero esta propiedad no se extiende a los sistemas no lineales (por ejemplo, el sistema con la ecuación
Un sistema indeterminado, por definición, es consistente, en el sentido de tener al menos una solución[3] Para un sistema de ecuaciones lineales, el número de ecuaciones de un sistema indeterminado puede ser igual al número de incógnitas, menor que el número de incógnitas (un sistema infradeterminado) o mayor que el número de incógnitas (un sistema sobredeterminado). Por el contrario, cualquiera de estos tres casos puede ser indeterminado o no.
En los sistemas lineales, la indeterminación se produce si y sólo si el número de ecuaciones independientes (el rango de la matriz aumentada del sistema) es menor que el número de incógnitas y es igual al rango de la matriz de coeficientes. Porque si hay al menos tantas ecuaciones independientes como incógnitas, eso eliminará cualquier tramo de superposición de las superficies de las ecuaciones en el espacio geométrico de las incógnitas (aparte de un posible punto único), lo que a su vez excluye la posibilidad de tener más de una solución. Por otro lado, si el rango de la matriz aumentada supera (necesariamente en uno, si es que lo hace) el rango de la matriz de coeficientes, entonces las ecuaciones se contradecirán conjuntamente, lo que excluye la posibilidad de tener alguna solución.
Sistema indeterminado
Un fabricante de monopatines introduce una nueva línea de tablas. El fabricante hace un seguimiento de sus costes, que es la cantidad que gasta para producir las tablas, y de sus ingresos, que es la cantidad que gana con las ventas de sus tablas. ¿Cómo puede determinar la empresa si está obteniendo beneficios con su nueva línea? ¿Cuántas tablas de skate deben producirse y venderse para obtener beneficios? En esta sección, consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder a estas y otras preguntas similares.
Para investigar situaciones como la del fabricante de monopatines, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.