Solucionador de sistemas de ecuaciones no lineales
ResumenSe propone un método de solución iterativo para sistemas de ecuaciones no lineales, haciendo uso de una técnica no lineal para la construcción de las aproximaciones. El método es eficiente para resolver ecuaciones cuadráticas.
Cybern Syst Anal 26, 384-393 (1990). https://doi.org/10.1007/BF01082690Download citationShare this articleAnyone you share the following link with will be able to read this content:Get shareable linkSorry, a shareable link is not currently available for this article.Copy to clipboard
Solución numérica de sistemas lineales
El cometa Halley (Figura \(\PageIndex{1})) orbita el sol aproximadamente una vez cada \(75\) años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales pueden estudiarse mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una recta, un círculo y una recta, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tener la forma \(Ax+By+C=0\). Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
Ecuaciones algebraicas no lineales
Una solución de la ecuación (también llamada raíz de la ecuación) es un valor numérico de x que satisface la ecuación. Gráficamente, como se muestra en la Fig. 3-1, la solución es el punto donde la función f(x) cruza o toca el eje x. Una ecuación puede no tener solución o puede tener una o varias (posiblemente muchas) raíces.
Cuando la ecuación es sencilla, el valor de x puede determinarse analíticamente. Este es el caso cuando x se puede escribir explícitamente aplicando operaciones matemáticas, o cuando se puede utilizar una fórmula conocida (como la fórmula para resolver una ecuación cuadrática) para determinar el valor exacto de x. Sin embargo, en muchas situaciones es imposible determinar la raíz de una ecuación de forma analítica. Por ejemplo, el área de un segmento AS de un círculo de radio r (área sombreada en la Fig. 3-2) viene dada por:
Métodos numéricos pdf
La razón fundamental detrás del enfoque de doble dirección es que, hay dos correcciones en el esquema. Si una corrección falla durante el proceso iterativo, la otra corregirá el sistema. Por lo tanto, esta investigación tiene como objetivo presentar un método libre de derivadas para resolver un sistema de ecuaciones no lineales a gran escala a través del enfoque de doble dirección. El parámetro de aceleración utilizado en este enfoque aproxima la matriz jacobiana con el fin de formar un método libre de derivadas mediante la reducción de dos direcciones presentadas en el esquema de doble dirección en una sola. Bajo condiciones suaves, se demuestra que el método propuesto es globalmente convergente utilizando la búsqueda de líneas libres de derivadas. Los resultados numéricos registrados en este trabajo utilizando un conjunto de problemas de prueba a gran escala muestran que el enfoque propuesto es exitoso para resolver problemas a gran escala.
A. S. Halilu, M. Y. Waziri, and I. Yusuf, Ecient matrix-free direction method with line search for solving large-scale system of nonlinear equations, Yugoslav Journal of Operations Research. doi.org/10.2298/YJOR160515005H