Sistema de ecuaciones diferenciales no lineales
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tomar la forma [latex]Ax+By+C=0[/latex]. Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
[latex]\N-empieza{alinear}&x-y=-1 \\N – &x=y – 1 && \text{resolver para }x. \\ Y = izquierda (y – 1 derecha) + 1 && \text{Sustituir la expresión para x. \\ Y=Izquierda(Y^2}-2Y+1D) +1 y… \\ &y={y}^{2}-2y+2 \\N-[3mm] &0={y}^{2}-3y+2 && \text{{puesta} igual a 0 y resolver.} |0=Izquierda(y – 2\\NDerecha)\NIzquierda(y – 1\NDerecha) \NFin[/latex]
Resolviendo para [latex]y[/latex] da [latex]y=2[/latex] y [latex]y=1[/latex]. A continuación, sustituye cada valor de [latex]y[/latex] en la primera ecuación para resolver [latex]x[/latex]. Sustituye siempre el valor en la ecuación lineal para comprobar si hay soluciones extrañas.
Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones no lineales
Un sistema se define como no lineal si las leyes que gobiernan la evolución temporal de sus variables de estado dependen de los valores de estas variables de una manera que se desvía de la proporcionalidad. La no linealidad está muy extendida en la naturaleza [Nicolis, (1995)]. A nivel microscópico, las ecuaciones del movimiento de un sistema de partículas bajo el efecto de sus propias colisiones, o las ecuaciones que describen la interacción de la radiación con la materia son no lineales; a nivel macroscópico, las ecuaciones que describen la evolución de las variables conservadas {x} de un fluido de un componente exhiben la no linealidad universal “inercial” . x, donde v es la velocidad del fluido -que forma parte, a su vez, del conjunto de las variables {x}- y V el operador de gradiente; asimismo, las variables de composición de una mezcla químicamente reactiva obedecen típicamente a un conjunto de ecuaciones no lineales en las que la principal fuente de no linealidad se encuentra en la ley de acción de masas, que vincula la velocidad de reacción a los productos de las concentraciones de las especies implicadas.
Mecánica no lineal
El cometa Halley (figura 1) orbita alrededor del Sol una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales pueden estudiarse mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una recta, un círculo y una recta, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.
Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
Hemos visto que la sustitución suele ser el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando las dos ecuaciones del sistema tienen variables semejantes de segundo grado, resolverlas utilizando la eliminación por adición suele ser más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más sencillo cuando el sistema implica sólo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. Como ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representa una circunferencia y una elipse.
No lineal deutsch
El cometa Halley ((Figura)) orbita alrededor del sol una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales pueden estudiarse mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una recta, un círculo y una recta, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tomar la formaCualquier ecuación que no pueda escribirse en esta forma en no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.