Ecuación diferencial no homogénea
Llamamos a la función \(f\) de la derecha una función de forzamiento, ya que en aplicaciones físicas suele estar relacionada con una fuerza que actúa sobre algún sistema modelado por la ecuación diferencial. Decimos que \eqref{eq:2.1.1} es \( \textcolor{blue}{mbox{homogéneo}} \) si \(f \equiv 0\) o \( \textcolor{blue}{mbox{nohomogéneo}} \) si \(f\not\\\\\\i}). Dado que estas definiciones son como las correspondientes en 3.3: Ecuaciones lineales de primer orden para la ecuación lineal de primer orden
es natural esperar que haya similitudes entre los métodos de resolución de \eqref{req:2.1.1} y \eqref{req:2.1.2}. Sin embargo, la resolución de \eqref{ec:2.1.1} es más difícil que la de \eqref{ec:2.1.2}. Por ejemplo, mientras que el Teorema \((2.1.1)\Nda una fórmula para la solución general de \eqref{eq:2.1.2} en el caso en que \(f\equiv0\) y el Teorema 2.2.2 da una fórmula para el caso en que \(f\notequiv0), no hay fórmulas para la solución general de \eqref{eq:2.1.1} en ninguno de los dos casos. Por tanto, debemos contentarnos con resolver ecuaciones lineales de segundo orden de formas especiales.
Fórmula de la ecuación diferencial homogénea
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Al igual que con las ecuaciones diferenciales de segundo orden, no podemos resolver una ecuación diferencial no homogénea a menos que podamos resolver primero la ecuación diferencial homogénea. También tendremos que limitarnos a las ecuaciones diferenciales de coeficiente constante, ya que la resolución de ecuaciones diferenciales de coeficiente no constante es bastante difícil, por lo que no las trataremos aquí. Asimismo, sólo estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales.
Ahora, supongamos que las soluciones a esta ecuación diferencial será en la forma \ ~(y\left( t \right) = { {\bf{e}^{r,t}}) y enchufe esto en la ecuación diferencial y con un poco de simplificación que obtenemos,
Solucionador de ecuaciones diferenciales homogéneas
Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación que contiene una diferenciación y una función, con un conjunto de variables. La función f(x, y) en una ecuación diferencial homogénea es una función homogénea tal que f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de una ecuación diferencial homogénea es f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0.
Una ecuación diferencial que contiene una función homogénea se llama ecuación diferencial homogénea. La función f(x, y) se llama función homogénea si f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de la ecuación diferencial homogénea es de la forma f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0. La ecuación diferencial homogénea tiene el mismo grado para las variables x, y dentro de la ecuación.
La ecuación diferencial homogénea no tiene un término constante dentro de la ecuación. La ecuación diferencial lineal tiene un término constante. La solución de una ecuación diferencial lineal es posible si somos capaces de eliminar el término constante de la ecuación diferencial lineal y transformarla en una ecuación diferencial homogénea. Además, la ecuación diferencial homogénea no tiene las variables x, y dentro de ninguna función especial como las funciones logarítmicas, o trigonométricas.
Ejemplos de soluciones de ecuaciones diferenciales homogéneas
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una ecuación de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds y =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en la forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.