Solucionador de ecuaciones diferenciales
La rutina particularsol se utiliza para encontrar una solución particular para una ecuación diferencial ordinaria (EDO) no lineal, o para una EDO lineal no homogénea sin calcular la solución general de su parte homogénea.
Para las EDOs lineales, particularsol intenta, en secuencia, calcular soluciones particulares de forma racional (ver DEtools[ratsols]), exponencial y d’Alembertian (ver LinearOperators[dAlembertianSolver]). Si no se encuentra ninguna solución particular, particularsol devuelve NULL.
Cuando la entrada es una lista de los coeficientes de yx y sus derivadas que representan una EDO lineal, por ejemplo obtenida de la EDO usando DEtools[convertAlg], la salida no es una ecuación sino una expresión que representa la solución particular – ver los ejemplos.
En el caso de una EDO lineal, mientras que particularsol es útil para calcular una solución particular cuando no se conoce la solución general de la parte homogénea de la EDO, siempre se puede calcular una solución particular si se conoce la solución general – para ello utilice DEtools[varparam].
Solución general y particular de la calculadora de ecuaciones diferenciales
DSolve devuelve los resultados como listas de reglas. Esto hace posible devolver múltiples soluciones a una ecuación. Para un sistema de ecuaciones, posiblemente se agrupen múltiples conjuntos de soluciones. Se pueden utilizar las reglas para sustituir las soluciones en otros cálculos.
Una solución general contiene parámetros arbitrarios C[i] que pueden variarse para producir soluciones particulares para la ecuación. Cuando se especifica un número adecuado de condiciones iniciales, DSolve devuelve soluciones particulares a las ecuaciones dadas.
Cuando el segundo argumento de DSolve se especifica como y en lugar de y[x], la solución se devuelve como una función pura. Esta forma es útil para verificar la solución de la EDO y para utilizar la solución en trabajos posteriores. En “Configuración del problema” se ofrecen más detalles.
Mientras que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias implican constantes arbitrarias, las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales parciales implican funciones arbitrarias. DSolve etiqueta estas funciones arbitrarias como C[i].
El diseño de DSolve es modular: los algoritmos para las diferentes clases de problemas funcionan independientemente unos de otros. Una vez que se ha clasificado un problema (como se describe en “Clasificación de las ecuaciones diferenciales”), los métodos disponibles para esa clase se prueban en una secuencia específica hasta que se obtiene una solución. El código tiene una estructura jerárquica por la que la solución de problemas complejos se reduce a la solución de problemas relativamente más sencillos, para los que se dispone de una mayor variedad de métodos. Por ejemplo, las EDO de orden superior suelen resolverse reduciendo su orden a 1 ó 2.
Solución homogénea y particular
En esta sección examinamos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que utilizamos para las ecuaciones homogéneas, así que vamos a empezar por definir algunos términos nuevos.
Para demostrar que \(y(x)\Nes la solución general, primero debemos mostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma. Sustituyendo \(y(x)\Nen la ecuación diferencial, tenemos
por lo que \(z(x)-y_p(x)\Nes una solución de la ecuación complementaria. Pero, \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\ es la solución general de la ecuación complementaria, por lo que existen las constantes \(c_1\) y \(c_2\) tales que
En el apartado anterior hemos aprendido a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por lo tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma \(ay″+by′+cy=r(x)\), ya sabemos cómo resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea. A continuación examinamos dos técnicas para ello: el método de los coeficientes indeterminados y el método de la variación de los parámetros.
Oda solución particular
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Una de las principales ventajas de este método es que reduce el problema a un problema de álgebra. El álgebra puede ser complicada en ocasiones, pero para la mayoría de los problemas no será terriblemente difícil. Otra cosa buena de este método es que la solución complementaria no se requerirá explícitamente, aunque como veremos el conocimiento de la solución complementaria se necesitará en algunos casos y así lo encontraremos generalmente también.
Este método tiene dos desventajas. En primer lugar, sólo funcionará para una clase bastante pequeña de \(g(t)\Nde. La clase de \(g(t)\)’s para la que el método funciona, incluye algunas de las funciones más comunes, sin embargo, hay muchas funciones por ahí para que los coeficientes indeterminados simplemente no funcionan. En segundo lugar, generalmente sólo es útil para ecuaciones diferenciales de coeficiente constante.