Enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad
Si \N(x’ = f(t, x)\Ny \N(x(t_0) = x_0\) es una ecuación diferencial lineal, ya hemos demostrado que existe una solución y que es única. A continuación abordaremos la cuestión de la existencia y unicidad de soluciones para todas las ecuaciones diferenciales de primer orden. La existencia y la unicidad de las soluciones serán muy importantes, incluso cuando consideremos las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
existe una solución única \(u = u(t)\) para \(x’ = f(t, x)\) y \(x(t_0) = x_0\) en algún intervalo \(|t – t_0| \lt h\) contenido en el intervalo \(|t – t_0| \lt a\text{.})Examinemos algunas consecuencias de la existencia y unicidad de soluciones.
Esto es especialmente problemático si buscamos soluciones de equilibrio. Aunque \(y’ = y^{1/3}\) es una ecuación diferencial autónoma, no hay solución de equilibrio en \(y = 0\text{.}\} El problema es que
Supongamos que \(y’ = y^2\) con \(y(0) = 1\text{.}\} Dado que \(f(t,y) = y^2\) y \(\partial f/ \partial y = 2y\) son continuos en todas partes, existe una solución única cerca de \(t = 0text{.}\} Separando las variables,
Teorema de existencia y unicidad ejemplos de ecuaciones diferenciales
Podemos plantear las mismas preguntas para las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Para ello es necesario hacer algunos comentarios. El primero es que para una ecuación diferencial de segundo orden no basta con indicar la posición inicial. También debemos tener la velocidad inicial. Una forma de convencerse, es que como necesitamos invertir dos derivadas, se introducirán dos constantes de integración, por lo que hay que encontrar dos datos para determinar las constantes.
Sea \( L (y) = 0 \) una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea y sean \( y_1 \) y \( y_2 \) dos soluciones. Entonces \( c_1y_1 + c_2y_2 \) es también una solución para cualquier par o constantes \(c_1\) y \(c_2\).
Utilizando la terminología del álgebra lineal, sabemos que \(L\) es una transformación lineal del espacio vectorial de funciones diferenciables en sí mismo. El teorema nos recuerda que el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial.
\N-[\N-] comienzo{\N-]. L ( c_1y_1 + C_2y_2) &= (c_1y_1 + c_2y_2)” + p(t)(c_1y_1 + c_2y_2)’ + q(t)(c_1y_1 + c_2y_2) \[4pt] &= c_1y”_1 + c_2y”_2 + p(t)c_1y’_1 + p(t) c_2y’_2 + q(t) c_1y_1 + q(t) c_2y_2 \[4pt] &= c_1y”_1 + p(t)c_1y’_1 + q(t)c_1y_1 + q(t) c_2y”_2 + p(t) c_2y’_2 + q(t)c_2y_2 \[4pt] &= c_1(y”_1 + p(t)y’_1 + q(t)y_1) + c_2(y”_2 + p(t)y’_2 + q(t) y_2) \[4pt] &= c_1L(y_1) + c_2L(y_2) \[4pt] &= 0 + 0 = 0. \pend{align*} {número}]
Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
La prueba se basa en la transformación de la ecuación diferencial y en la aplicación de la teoría del punto fijo. Integrando ambos lados, cualquier función que satisfaga la ecuación diferencial debe satisfacer también la ecuación integral
), la solución estacionaria es y(t) = 0, que se obtiene para la condición inicial y(0) = 0. A partir de otra condición inicial y(0) = y0 ≠ 0, la solución y(t) tiende hacia el punto estacionario, pero lo alcanza sólo en el límite del tiempo infinito, por lo que la unicidad de las soluciones (sobre todos los tiempos finitos) está garantizada.
Sin embargo, para una ecuación en la que la solución estacionaria se alcanza después de un tiempo finito, la unicidad falla. Esto ocurre, por ejemplo, con la ecuación dy/dt = ay 2/3, que tiene al menos dos soluciones correspondientes a la condición inicial y(0) = 0 como: y(t) = 0 o
por lo que el estado anterior del sistema no está determinado unívocamente por su estado después de t = 0. El teorema de unicidad no se aplica porque la función f (y) = y 2/3 tiene una pendiente infinita en y = 0 y, por lo tanto, no es continua de Lipschitz, violando la hipótesis del teorema.
Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales no lineales
ResumenEn este artículo, presentamos la existencia de soluciones para una ecuación diferencial fraccionaria acoplada de orden superior con la derivada fraccionaria de Caputo. Nuestro enfoque principal es la teoría de grados de coincidencia debida a Mawhin. El punto más interesante es la prueba de la unicidad de la solución para las ecuaciones diferenciales fraccionarias acopladas de orden superior en resonancia. Damos un ejemplo para demostrar nuestros resultados.
Recordemos ahora algunas notaciones sobre el teorema de continuación de grado de coincidencia. Sean Y, Z espacios de Banach reales, \(L:\operador{dom} L \\\\ conjunto Y \ a Z\) sea un mapa de Fredholm de índice cero y \(P:Y\ a Y\), \(Q: Z\ a Z\) sean proyectores continuos tales que \(\ker L = \operatorname{Im}P\), \(\operatorname{Im}L= \ker Q\), y \(Y=\ker L \oplus\ker P\), \(Z=operatorname{Im}L \oplus\operatorname{Im}Q\). De ello se desprende que \(L|_{operatorname{dom}L \cap\ker P}: \operatorname{dom}L \cap\ker P \to\operatorname{Im}L\) es invertible. Denotamos la inversa de este mapa por \N(K_{P}\N). Si Ω es un subconjunto abierto acotado de Y, el mapa N se llamará L-compacto sobre \(\overline{Omega}\) si \(QN(\overline{Omega})\Nes acotado y \(K_{P,Q}N=K_{P}(I-Q)N:\overline{Omega}\Na Y) es compacto.