Solucionador de ecuaciones diferenciales
Una ecuación que contiene la derivada de una función desconocida se llama ecuación diferencial. La tasa de cambio de una función en un punto está definida por las derivadas de la función. Una ecuación diferencial relaciona estas derivadas con las otras funciones. Las ecuaciones diferenciales se utilizan principalmente en los campos de la biología, la física, la ingeniería y muchos otros. El objetivo principal de la ecuación diferencial es estudiar las soluciones que satisfacen las ecuaciones y las propiedades de las soluciones. Vamos a discutir la definición, los tipos, los métodos para resolver la ecuación diferencial, el orden y el grado de la ecuación diferencial, los tipos de ecuaciones diferenciales, con ejemplos del mundo real y problemas de práctica.
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene al menos una derivada de una función desconocida, ya sea una derivada ordinaria o una derivada parcial. Supongamos que la tasa de cambio de una función y con respecto a x es inversamente proporcional a y, lo expresamos como dy/dx = k/y.
En cálculo, una ecuación diferencial es una ecuación que involucra la derivada (derivados) de la variable dependiente con respecto a la variable independiente (variables). La derivada no representa más que una tasa de cambio, y la ecuación diferencial nos ayuda a presentar una relación entre la cantidad que cambia con respecto al cambio de otra cantidad. y=f(x) sea una función donde y es una variable dependiente, f es una función desconocida, x es una variable independiente. He aquí algunas ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones diferenciales parciales
Mientras que las ecuaciones diferenciales tienen tres tipos básicos: ordinarias (ODEs), parciales (PDEs) o diferenciales-algebraicas (DAEs), pueden ser descritas además por atributos como el orden, la linealidad y el grado. El método de solución utilizado por DSolve y la naturaleza de las soluciones dependen en gran medida de la clase de ecuación que se está resolviendo.
Esta es una EDO no lineal de segundo orden que representa el movimiento de un péndulo circular. Es no lineal porque Sin[y[x]] no es una función lineal de y[x]. El mensaje de advertencia de Solve::ifun aparece porque Solve utiliza JacobiAmplitude (la inversa de EllipticF) para encontrar una expresión para y[x]:
Esta ecuación diferencial no lineal sólo tiene una solución implícita. Los mensajes Solve::tdep pueden ignorarse; aparecen porque Solve no puede encontrar una expresión explícita para y[x] porque intervienen funciones no algebraicas (ArcTan y Log):
La ecuación anterior también es homogénea: todos los términos contienen o derivan de y su lado derecho es cero. Añadir una función de la variable independiente hace que la ecuación sea inhomogénea. La solución general de una ecuación no homogénea con coeficientes constantes se obtiene añadiendo una integral particular a la solución de la ecuación homogénea correspondiente.
Ecuación diferencial lineal
Visualización de la transferencia de calor en la carcasa de una bomba, creada mediante la resolución de la ecuación del calor. El calor se genera internamente en la carcasa y se enfría en la frontera, proporcionando una distribución de temperatura en estado estacionario.
En matemáticas, una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones desconocidas y sus derivadas[1] En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define una relación entre ambas. Estas relaciones son comunes; por lo tanto, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en muchas disciplinas, como la ingeniería, la física, la economía y la biología.
El estudio de las ecuaciones diferenciales consiste principalmente en el estudio de sus soluciones (el conjunto de funciones que satisfacen cada ecuación), y de las propiedades de sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas pueden resolverse mediante fórmulas explícitas; sin embargo, muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin calcularlas exactamente.
Ecuación diferencial corta
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función con al menos una de sus derivadas. Si la función en cuestión tiene una sola variable independiente, la ecuación se conoce como ecuación diferencial ordinaria; si la función es de múltiples variables, se llama ecuación diferencial parcial. En general, la ecuación diferencial
El concepto básico de una ecuación diferencial es que relaciona las tendencias de la función con otras tendencias de la función. Es decir, una ecuación diferencial relaciona derivadas de distinto grado (pendientes, gradientes) entre sí y con otras funciones de .
Cuando se da una ecuación diferencial, el objetivo es a menudo encontrar la función como una función explícita en términos de sólo , y las posibles funciones de ; a veces sólo son posibles las funciones implícitas de ; pero necesariamente el objetivo es eliminar todas las derivadas de de la ecuación.
El grado de la ecuación es el exponente de la derivada de mayor orden, y el orden es el de la derivada de mayor orden. Si la función y sus derivadas son todas a la potencia de uno (lo que hace que la ecuación sea de primer grado), y la función no se multiplica con ninguna de sus derivadas, la ecuación se considera lineal. Las ecuaciones diferenciales no lineales son mucho más difíciles de resolver, si es que es posible resolverlas directamente.