Ejemplos de variables dependientes e independientes en la ecuación diferencial
Hola,Deseo obtener T=T(r,x) de:Nótese que alfa es una mera constante; u no lo es. u es una función de r. Quiero obtener finalmente T=T(r,x). ¿Qué código ayudaría a resolverlo? ¿Y cuáles son las BC necesarias? Para u(r), ¿cómo debo tratar este término? ¡Gracias por adelantado!
No estoy seguro de lo que quieres decir, ya que no soy matemático. No sé si la técnica que mencionas es numérica o analítica. En cualquier caso, se prefieren las soluciones numéricas por su fiabilidad.
Creo que no lo ha entendido. En primer lugar, una solución numérica no será más fiable que si tiene una solución analítica. Para una discusión sobre el uso de la separación de variables, mira aquí, donde han mostrado la solución de un problema muy parecido al tuyo. (Amplíe la solución.)https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/SeparationofVariables.aspxIf todavía piensa que necesita una solución numérica, entonces se trata de una EDP. Usted tendrá que proporcionar un conjunto de condiciones de contorno, y utilizar una herramienta para resolver un PDE. Puedes encontrarlas en MATLAB.
Ejemplo de variable dependiente en una ecuación diferencial
Ahora que hemos examinado los límites y la continuidad de las funciones de dos variables, podemos proceder a estudiar las derivadas. Encontrar derivadas de funciones de dos variables es el concepto clave de este capítulo, con tantas aplicaciones en matemáticas, ciencia e ingeniería como la diferenciación de funciones de una sola variable. Sin embargo, ya hemos visto que los límites y la continuidad de las funciones multivariables tienen nuevos problemas y requieren nueva terminología e ideas para tratarlos. Esto se traslada también a la diferenciación.
Al estudiar las derivadas de funciones de una variable, encontramos que una interpretación de la derivada es una tasa de cambio instantánea de \(y\) como una función de \(x.\) La notación de Leibniz para la derivada es \(dy/dx,\) que implica que \(y\) es la variable dependiente y \(x\) es la variable independiente. Para una función \(z=f(x,y)\) de dos variables, \(x\) y \(y\) son las variables independientes y \(z\) es la variable dependiente. Esto plantea de inmediato dos cuestiones: ¿Cómo adaptamos la notación de Leibniz para las funciones de dos variables? Además, ¿cuál es la interpretación de la derivada? La respuesta está en las derivadas parciales.
Variable dependiente e independiente en la calculadora de ecuaciones diferenciales
Ahora que hemos definido la noción de una EDO, necesitaremos desarrollar algunos conceptos adicionales para describir más profundamente la estructura de las EDO. Las nociones de “estructura” son importantes ya que veremos que juegan un papel clave en la forma de entender la naturaleza del comportamiento de las soluciones de las EDOs.
Se dice que una EDO es autónoma si ninguno de los coeficientes (es decir, las funciones) que multiplican la variable dependiente, o cualquiera de sus derivadas, dependen explícitamente de la variable independiente, y también si ningún término que no dependa de la variable dependiente o cualquiera de sus derivadas depende explícitamente de la variable independiente. En caso contrario, se dice que no es autónomo.
O, más sucintamente, una EDO es autónoma si la variable independiente no aparece explícitamente en la ecuación. En caso contrario, no es autónoma. Aplicamos esta definición a los cinco ejemplos anteriores y resumimos los resultados en la siguiente tabla.
Todas las EDO escalares, es decir, el valor de la variable dependiente es un escalar, pueden escribirse como ecuaciones de primer orden en las que la nueva variable dependiente es un vector que tiene la misma dimensión que el orden de la EDO. Esto se hace construyendo un vector cuyos componentes consisten en la variable dependiente y todas sus derivadas por debajo del orden más alto. Este vector es la nueva variable dependiente. Lo ilustramos con los cinco ejemplos anteriores.
Variables dependientes e independientes en las ecuaciones diferenciales parciales
Los solucionadores de ecuaciones diferenciales parciales están diseñados para manejar ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria contiene una o más derivadas de una variable dependiente con respecto a una única variable independiente , normalmente denominada tiempo. La derivada de con respecto a se denota como , la segunda derivada como , y así sucesivamente. A menudo es un vector, que tiene elementos .
Generalmente hay muchas funciones que satisfacen una EDO dada, y se necesita información adicional para especificar la solución de interés. En un problema de valor inicial, la solución de interés satisface una condición inicial específica, es decir, es igual a en un momento inicial dado . Un problema de valor inicial para una EDO es entonces
Si la función es suficientemente suave, este problema tiene una y sólo una solución. Por lo general, no existe una expresión analítica para la solución, por lo que es necesario realizar una aproximación por medios numéricos, como el uso de uno de los solucionadores de EDO.
Los solucionadores de EDO sólo aceptan ecuaciones diferenciales de primer orden. Sin embargo, las EDOs a menudo implican un número de variables dependientes, así como derivadas de orden superior a uno. Para utilizar los solucionadores de EDO, debe reescribir dichas ecuaciones como un sistema equivalente de ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma