De tronco a número
Nota: En el ejemplo anterior, no he escrito la base de cada logaritmo. Esto se debe a que para las leyes de los logaritmos, no importa cuál sea la base, siempre que todos los logaritmos estén en la misma base.
Otra ley importante de los logaritmos es la siguiente. Esta es una forma muy útil de cambiar la base (en esta fórmula, la base sí importa). La mayoría de las calculadoras sólo pueden calcular ln x y log10x (normalmente sólo se escribe “log” en el botón), así que esta fórmula puede ser muy útil.
Si nos dan ecuaciones con exponenciales o con el logaritmo natural, recuerda que puedes tomar el exponencial de ambos lados de la ecuación para deshacerte del logaritmo o tomar el logaritmo natural de ambos lados para deshacerte del exponencial.
Base del logaritmo
La mayoría de las ecuaciones exponenciales no se resuelven de forma ordenada; no habrá forma de convertir las bases para que sean iguales, como la conversión de 4 y 8 en potencias de 2. Para resolver estas ecuaciones más complicadas, tendrás que usar logaritmos.
Tomar logaritmos nos permitirá aprovechar la regla del logaritmo que dice que las potencias dentro de un logaritmo se pueden desplazar por delante como multiplicadores. Al tomar el logaritmo de una exponencial, podemos mover la variable (que está en el exponente que ahora está dentro de un logaritmo) hacia adelante, como un multiplicador en el logaritmo. En otras palabras, la regla del logaritmo nos permitirá desplazar la variable hacia abajo, donde podamos tenerla a mano.
Si esta ecuación me hubiera pedido “Resolver 2x = 32”, entonces encontrar la solución habría sido fácil, porque podría haber convertido el 32 en 25, poner los exponentes iguales y resolver “x = 5”. Pero, a diferencia de 32, 30 no es una potencia de 2, así que no puedo establecer potencias iguales entre sí. Necesito algún otro método para llegar a la x, porque no puedo resolver la ecuación con la variable flotando por encima del 2; la necesito de nuevo en el suelo, donde debe estar, donde puedo llegar a ella. Y tendré que usar logaritmos para bajar esa variable.
Cómo calcular la exponenciación
No dejes que esto te asuste sólo porque veas logaritmos. Si estás pensando “¡¿Qué es un logaritmo?!”, quizá quieras consultar la lección de introducción a los logaritmos antes de avanzar. Opción 1: Empecemos por examinar el logaritmo del lado derecho de la ecuación, el log 100. No hay ningún número pequeño escrito después de la palabra log, así que podemos asumir que es un logaritmo común de base 10. Recuerda que un logaritmo te dice cuál es el exponente. Así que log 100 realmente significa “10 a qué potencia es igual a 100”. Sabemos que 10 a la 2ª potencia es 100, así que el logaritmo es igual a 2.
Ahora te queda una ecuación con un solo logaritmo. Como no hay subíndice después de la palabra log, sabemos que es un logaritmo común de base 10. Podemos reescribirla como una ecuación exponencial y ver que la respuesta es 100.
Pero eso es un montón de trabajo innecesario. En su lugar, puedes simplemente mirar la ecuación original y ver que x y 100 deben ser la misma cosa. Si tienes la misma operación en ambos lados de una ecuación, ¡se cancelan mutuamente!
Ln en ambos lados de la ecuación
Betsy tiene un doctorado en ingeniería biomédica por la Universidad de Memphis, un máster por la Universidad de Virginia y una licenciatura por la Universidad Estatal de Mississippi. Tiene más de 10 años de experiencia en el desarrollo de planes de estudio STEM y en la enseñanza de la física, la ingeniería y la biología.
En esta lección aprenderás algunos métodos que se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas. Aprende a resolver estos sistemas de ecuaciones tanto algebraica como gráficamente, y luego practica tus nuevas habilidades.
Resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas por eliminaciónUn sistema de ecuaciones contiene múltiples ecuaciones y múltiples variables desconocidas. Los sistemas de ecuaciones pueden ser difíciles de trabajar porque cada uno no puede resolverse de forma independiente, pero hay algunos trucos que pueden ayudarte a abordarlos. Para resolver cualquier sistema de ecuaciones, no sólo uno que contenga ecuaciones logarítmicas, necesitas combinar las ecuaciones para obtener una ecuación con sólo UNA variable desconocida. Hay un par de formas comunes de hacer esto. En primer lugar, en algunos casos, puedes utilizar el método de eliminación. En este método, sumas las dos ecuaciones para eliminar una de las variables. Veamos cómo podría funcionar para un sistema de ecuaciones logarítmicas. ¿Cómo resolverías x e y en las ecuaciones logarítmicas que se muestran a continuación?