Resolver numéricamente sistemas de ecuaciones no lineales
Un punto de equilibrio es una solución constante de una ecuación diferencial. Por lo tanto, para un sistema de EDO, un punto de equilibrio va a ser una solución de un par de constantes. Establezca todos los términos diferenciales iguales a $ 0 $ para encontrar el punto de equilibrio.
Macroscópicamente, todo el sistema es no lineal, pero todavía necesitamos un sistema lineal para el análisis posterior. Así que aquí viene un método de linealización cerca de los puntos de equilibrio. Linealizamos la gráfica de la solución para obtener detalles y esbozar un retrato de fase global. Un concepto similar al que podemos referirnos es la expansión de series de Taylor. No se trata de una linealización, sino de utilizar un método para acercarse a la función exacta, que es algo así como utilizar los retratos de fase locales para acercarse al global. La linealización aquí es un método para identificar los retratos de fase locales.
J=Df(x,y)=\Ninicio{bmatriz} \frac{parcial f}{parcial x} & \frac{parcial f}{parcial y} \N – frac {parcial g} {parcial x} & \frac {parcial g} {parcial y} \fin{bmatrix}= inicio{bmatrix} 1-4x-3y & -3x \\N – -2y & 6-2x-8y \N – fin{bmatrix} $ para este sistema no lineal.
Ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden
En matemáticas y ciencia, un sistema no lineal es un sistema en el que el cambio de la salida no es proporcional al cambio de la entrada[1][2] Los problemas no lineales son de interés para ingenieros, biólogos,[3][4][5] físicos,[6][7] matemáticos y muchos otros científicos porque la mayoría de los sistemas son inherentemente no lineales por naturaleza[8]. [Los sistemas dinámicos no lineales, que describen cambios en las variables a lo largo del tiempo, pueden parecer caóticos, impredecibles o contraintuitivos, lo que contrasta con los sistemas lineales mucho más simples.
Típicamente, el comportamiento de un sistema no lineal se describe en matemáticas mediante un sistema no lineal de ecuaciones, que es un conjunto de ecuaciones simultáneas en las que las incógnitas (o las funciones desconocidas en el caso de las ecuaciones diferenciales) aparecen como variables de un polinomio de grado superior a uno o en el argumento de una función que no es un polinomio de grado uno.
En otras palabras, en un sistema de ecuaciones no lineal, la(s) ecuación(es) a resolver no puede(n) escribirse como una combinación lineal de las variables o funciones desconocidas que aparecen en ellas. Los sistemas pueden definirse como no lineales, independientemente de que aparezcan funciones lineales conocidas en las ecuaciones. En particular, una ecuación diferencial es lineal si es lineal en términos de la función desconocida y sus derivadas, aunque sea no lineal en términos de las otras variables que aparecen en ella.
Resolución de ecuaciones diferenciales no lineales
Sobre el tema de las ecuaciones diferenciales se han escrito muchos libros elementales. Este libro tiende un puente entre los cursos elementales y la literatura de investigación. En primer lugar, se analizan los conceptos básicos necesarios para el estudio de las ecuaciones diferenciales: puntos críticos y equilibrio, soluciones periódicas, conjuntos invariantes y variedades invariantes. A continuación se desarrolla la teoría de la estabilidad, empezando por los métodos de linealización que se remontan a Lyapunov y Poincaré. En los últimos cuatro capítulos se introducen temas más avanzados como las oscilaciones de relajación, la teoría de la bifurcación, el caos en mapeos y ecuaciones diferenciales, y los sistemas hamiltonianos, que conducen a las fronteras de la investigación actual: así, el lector puede empezar a trabajar en problemas de investigación abiertos, después de estudiar este libro. Esta nueva edición contiene un amplio análisis de los conjuntos fractales con aspectos dinámicos como la dimensión de correlación e información. En los sistemas hamiltonianos se han añadido temas como las formas normales de Birkhoff y el teorema de Poincaré-Birkhoff sobre soluciones periódicas. Ahora hay 6 apéndices con nuevo material sobre las variedades invariantes, la bifurcación de sistemas autoexcitados fuertemente no lineales y las formas normales de los sistemas hamiltonianos. El material se presenta tanto desde el punto de vista cualitativo como cuantitativo, y se ilustra con numerosos ejemplos.
Sistema de ecuaciones diferenciales
La linealización es el proceso de tomar el gradiente de una función no lineal con respecto a todas las variables y crear una representación lineal en ese punto. Es necesario para ciertos tipos de análisis, como el análisis de estabilidad, la solución con una transformada de Laplace y para poner el modelo en forma de espacio de estado lineal. Considere un modelo de ecuación diferencial no lineal que se deriva de las ecuaciones de equilibrio con la entrada u y la salida y.
Si los valores de `\bar u` y `\bar y` se eligen en condiciones de estado estacionario entonces `f(\bar y, \bar u)=0` porque el término de la derivada `{dy}/{du}=0` en estado estacionario. Para simplificar la expresión linealizada final, las variables de desviación se definen como `y’ = y-\bar y` y `u’ = u – \bar u`. Una variable de desviación es un cambio de las condiciones nominales de estado estacionario. La derivada de la variable de desviación se define como `{dy’}/{dt} = {dy}/{dt}` porque `{d\bar y}/{dt} = 0` en `{dy’}/{dt} = {d(y-\bar y)}/{dt} = {dy}/{dt} – \cancelar{{d\bar y}/{dt}`. Si hay variables adicionales como una variable de perturbación `d` entonces se añade como otro término en forma de variable de desviación `d’ = d – \bar d`.