Qué es la ecuación de primer grado en una variable
Una ecuación de primer grado es aquella que, reducida a su forma más simple, contiene la letra o letras desconocidas elevadas sólo a la primera potencia. Así, las ecuaciones 5x -7=18 y 3x + 5x -2 = 34 -x son ecuaciones de primer grado. La ecuación 2×2 + 7 x -3x -2×2 = 28, tal como está escrita, no parece una ecuación de primer grado, ya que contiene la incógnita elevada a la segunda potencia. Sin embargo, cuando se escribe en la forma más simple juntando los términos iguales, los dos términos x2 desaparecen y la ecuación se reduce a 4x = 28. Por tanto, esta ecuación es de primer grado.
Ya hemos aprendido a resolver ecuaciones de primer grado sumando, restando, multiplicando o dividiendo ambos miembros de la ecuación por el mismo número. En estas páginas seguiremos aplicando estos métodos para resolver ecuaciones; sin embargo, ahora resolveremos ecuaciones que pueden contener tanto números negativos como positivos. Además, aprenderemos algunos “atajos” que nos facilitarán el trabajo.
Enunciemos una vez más los cuatro principios que hemos aplicado en la resolución de ecuaciones. Estos principios se aplican tanto a las ecuaciones que contienen números negativos como a las que contienen números positivos. Estos principios se denominan axiomas. Un axioma es una afirmación que se acepta sin pruebas.
Hojas de trabajo para resolver ecuaciones de primer grado
En esta sección se asume que el alumno sabe resolver ecuaciones básicas de primer grado. En la sección de problemas, los problemas con estrella suponen que el alumno también sabe resolver ecuaciones cuadráticas.
El hecho de que hayas planteado una ecuación a partir de un problema de palabras no significa que hayas terminado. Tienes que resolver la ecuación. Y luego, una vez que hayas encontrado la incógnita, tienes que asegurarte de que sabes cuál es la pregunta, porque si no respondes a la pregunta que te han hecho, ¡no tendrás una solución correcta!
Preguntas1. La suma de un número y 15 es uno más que el triple del número. ¿Cuál es el número? 2. El producto de un número por seis es 30 más que el número. ¿Cuál es la mitad del número? 3. La edad actual de Hera es la mitad de la que tendrá dentro de 10 años. ¿Cuántos años tendrá Hera dentro de 10 años? 4. La población de una ciudad era de 142.000 habitantes, y aumentó a razón de 1.200 cada año hasta llegar a los 184.000 habitantes. ¿Cuántos años aumentó la población? 5. El producto de 5 y cuatro más que un número es nueve veces el número. ¿Cuál es el número? 6. El precio de un libro aumentó un 10%, y el nuevo precio es de 13,20 dólares. ¿Cuál habría sido el precio de dos libros antes del cambio de precio? 7. El doble de la suma de un número y cinco da el triple de la suma del número y 2. ¿Cuál es el número? ¿Cuál es el número? 8. * El producto de un número por dos más que el número es 48. ¿Cuál es el número? ¿Cuál es el número? 9. * El producto de uno menos que un número y uno más que un número es uno menos que diez veces el número. ¿Cuál es el número? 10. Si un número se incrementa por cuatro y el resultado se duplica, y este resultado se eleva al cuadrado, se obtiene un número que es ocho más que 68 veces el número original. ¿En qué mes se celebra la Navidad? Asigna esta página de referenciaHaz clic aquí para asignar esta página de referencia a tus alumnos.Escribir ecuacionesUsar fórmulas para resolver problemas de palabras
Ecuación de primer grado en dos variables
En un examen típico de Matemáticas 1, varias preguntas requieren la resolución de ecuaciones e inecuaciones. En esta sección, revisaremos los diferentes tipos de ecuaciones e inecuaciones que encontrarás y los métodos para resolverlas.
El principio básico al que debes atenerte para resolver cualquier ecuación es que puedes manipularla de cualquier manera siempre que hagas lo mismo en ambos lados. Por ejemplo, puedes sumar el mismo número a cada lado, restar el mismo número a cada lado, multiplicar o dividir cada lado por el mismo número (excepto 0), elevar al cuadrado cada lado, tomar la raíz cuadrada de cada lado (si las cantidades son positivas), tomar el recíproco de cada lado, tomar el logaritmo de cada lado, etc. Estos comentarios se aplican también a las desigualdades. Sin embargo, hay que tener mucho cuidado al trabajar con inecuaciones porque algunos procedimientos, como multiplicar o dividir por un número negativo y tomar recíprocos, invierten las inecuaciones.
Las ecuaciones e inecuaciones más sencillas que tendrás que resolver en el examen de Matemáticas 1 tienen una sola variable y no tienen exponentes. Se llaman ecuaciones e inecuaciones de primer grado o lineales. Para resolverlas siempre puedes utilizar el método de los seis pasos que se describe a continuación.
Ejemplos de ecuaciones de primer grado en una variable
Simplificando la ecuación llegamos a que es verdadera todo el tiempo, no depende del valor de , por lo que no importa el valor de la ecuación siempre es verdadera, y como tiene infinitos valores posibles tenemos infinitas soluciones para esta ecuación.
Elegimos 2 valores de y obtenemos el valor respectivo de y luego graficamos los dos puntos en un plano y el nuevo trazamos la recta que pasa por los dos puntos, y la coordenada del punto de intersección de la recta y el eje x es la solución de la ecuación.
Llamamos ecuación de segundo grado, a toda ecuación con la forma estándar con , y siendo números reales y distintos de cero. Se llama ecuación de segundo grado porque la mayor potencia de en esta ecuación es 2 (es decir ).
Ahora la resolución es sencilla ya que tenemos el producto de dos de primer grado igual a cero entonces sabemos con seguridad que o el primer término del producto es igual a cero o el segundo es igual a cero, lo que significa que o , resolvemos cada término de primer grado del lado izquierdo, obtenemos: