Ecuaciones diferenciales sustitución homogénea
El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan mediante derivadas. Por ello, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es plantear una ecuación que contenga una función desconocida \ (y=f(x)\Ny su derivada, conocida como ecuación diferencial. La resolución de este tipo de ecuaciones suele proporcionar información sobre cómo cambian las cantidades y, con frecuencia, permite entender cómo y por qué se producen los cambios.
Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden adoptar muchas formas diferentes, incluyendo la solución directa, el uso de gráficos o los cálculos por ordenador. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.
Consideremos la ecuación \(y′=3x^2,\) que es un ejemplo de ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables \(x\) y \(y:y\) es una función desconocida de \(x\). Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de \(y\). Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación como sigue: Partimos de alguna función \(y=f(x)\Ny tomamos su derivada. La respuesta debe ser igual a \(3x^2\). ¿Qué función tiene una derivada que es igual a \(3x^2\)? Una de estas funciones es \(y=x^3\), por lo que esta función se considera una solución de una ecuación diferencial.
Sustitución de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en la forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Resuelve la ecuación diferencial dada utilizando una sustitución adecuada
no es separable ni lineal. ¿Qué podemos hacer? Pues intentar cambiar las variables, de forma que en las nuevas variables la ecuación sea más sencilla. Usamos otra variable \(v\text{,}\} que tratamos como una función de \(x\text{,}\}) Probemos
Tenemos que calcular \(y’\) en términos de \(v’\text{,}\} \(v\) y \(x\text{,}\}) Diferenciamos (en \(x\)) para obtener \(v’ = 1 – y’\text{,}\}) Así \(y’ = 1-v’\text{,}\} Introducimos esto en la ecuación para obtener
La sustitución en las ecuaciones diferenciales se aplica de la misma manera que en el cálculo. Adivina. Varias sustituciones diferentes pueden funcionar. Hay que buscar algunos patrones generales. Resumimos algunos de ellos en una tabla.
Normalmente se intenta sustituir la parte “más complicada” de la ecuación con la esperanza de simplificarla. La tabla anterior es sólo una regla general. Es posible que tengas que modificar tus conjeturas. Si una sustitución no funciona (no simplifica la ecuación), prueba con otra.
Tenemos dos clases principales de procedimientos para resolver: las EDO separables y las lineales. Sin embargo, a menudo podemos utilizar una sustitución para convertir un tipo diferente de EDO en uno de estos dos tipos. En este vídeo utilizamos una sustitución para resolver una clase importante de EDOs llamada ecuaciones de Bernoulli
Ecuación diferencial de segundo orden
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En la sección anterior vimos las ecuaciones de Bernoulli y vimos que para resolverlas necesitábamos usar la sustitución \(v = {y^{1 – n}}). Al utilizar esta sustitución, pudimos convertir la ecuación diferencial en una forma que pudiéramos tratar (lineal en este caso). En esta sección queremos echar un vistazo a un par de otras sustituciones que se pueden utilizar para reducir algunas ecuaciones diferenciales a una forma resoluble.
Las ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden escribirse en esta forma se denominan ecuaciones diferenciales homogéneas. Tenga en cuenta que normalmente tendremos que hacer alguna reescritura para poner la ecuación diferencial en la forma adecuada.