Ecuación plana a partir de 3 puntos
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Ecuación general del plano
La ecuación del plano representa una superficie plana en un espacio tridimensional. La ecuación de un plano puede derivarse mediante cuatro métodos diferentes, basados en los valores de entrada dados. La ecuación del plano puede expresarse en forma cartesiana o en forma vectorial.
Consideremos una normal \N(\overrightarrow ON \) al plano. La normal es una recta perpendicular trazada desde el origen O a un punto N del plano, tal que \(\overrightarrow ON \) es perpendicular al plano. Sea la longitud de la normal \(\overrightarrow ON\) d unidades, tal que \(\overrightarrow ON = d \hat n\). Además, consideraremos un punto P en el plano, que tiene un vector de posición de \(\overrightarrow r\). Ahora tenemos \(\overrightarrow NP = \overrightarrow r – d. \hat n\). También \(\overrightarrow NP\) y \(\overrightarrow ON\) son perpendiculares entre sí, y el producto punto de estas dos rectas perpendiculares es igual a 0. Finalmente, tenemos la siguiente expresión para el producto punto de estas dos rectas
Consideremos un punto A en el plano con un vector de posición \(\ sobre flecha a\), y un vector \(\ sobre flecha N\), que es perpendicular a este plano. Consideremos otro punto P en el plano que tiene un vector de posición \(\overrightarrow r \). La recta \(\overrightarrow AP \) se encuentra en este plano referido y es perpendicular a la normal \(\overrightarrow N\). Aquí tenemos el producto punto de estas dos rectas igual a cero. \(\ sobre flecha AP.\Nsobre flecha N = 0\N). Resolviendo esto además tenemos la siguiente expresión.
Ecuación de una línea calculadora
Un plano puede ser determinado de forma única por tres puntos no colineales (puntos que no están en una sola línea). Y esto es lo que hace la calculadora de abajo. Se introducen las coordenadas de tres puntos y la calculadora calcula la ecuación de un plano que pasa por tres puntos. Como es habitual, debajo de la calculadora hay explicaciones con teoría.
Aunque sólo tenemos tres ecuaciones para cuatro incógnitas, lo que significa que el sistema tiene infinitas soluciones, todavía podemos utilizar la eliminación gaussiana para obtener una solución en forma general con variables independientes (lo que significa que se les permite tomar cualquier valor).
En nuestro caso, sólo tenemos una variable independiente. Si todas las coordenadas son enteras, la calculadora elige el valor de la variable independiente para que sea el mínimo común múltiplo (LCM) de todos los denominadores en otros coeficientes para deshacerse de las fracciones en la respuesta. Si alguna coordenada no es un número entero, el valor de la variable independiente se fija en uno.
Ecuación de un plano
Formas (cartesianas o normales) de la ecuación de un plano dado el vector normal y un punto en él.Consideremos primero la ecuación de una recta en forma cartesiana y reescribámosla en forma vectorial en dos dimensiones,
Un vector normal ⃑-⃑ a una recta o a un plano es un vector que es perpendicular a la recta o al plano. En otras palabras, el vector normal es perpendicular a cualquier vector ⃑ que sea paralelo a la
++-(++)=0.Esto se puede reordenar para dar la ecuación del plano en forma escalar.Definición: Forma escalar de la ecuación de un planoLa forma escalar de la ecuación de un plano en ℝ que contiene los vectores puntuales
Ejemplo 2. Hallar la ecuación general de un plano Hallar la ecuación general de un plano que pasa por un punto dado y es paralelo a dos vectores dadosHallar la ecuación general del plano que pasa por el punto (5,1,-1) y es paralelo
a los dos vectores (9,7,-8) y (-2,2,-1).RespuestaEn este ejemplo, queremos determinar la ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a dos vectores dados.Recordemos que la forma escalar de la ecuación de un plano con un vector normal ⃑=(,,) que contiene el punto (,,) es