Función cuadrática
Este artículo trata sobre las ecuaciones algebraicas de grado dos y sus soluciones. Para la fórmula utilizada para encontrar soluciones a dichas ecuaciones, véase Fórmula cuadrática. Para funciones definidas por polinomios de grado dos, véase Función cuadrática.
término. Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación y pueden distinguirse llamándolos, respectivamente, coeficiente cuadrático, coeficiente lineal y término constante o libre[1].
Los valores de x que satisfacen la ecuación se denominan soluciones de la misma, y raíces o ceros de la expresión en su lado izquierdo. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones. Si sólo hay una solución, se dice que es una raíz doble. Si todos los coeficientes son números reales, hay dos soluciones reales, o una única raíz doble real, o dos soluciones complejas. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, si se incluyen las raíces complejas; y una raíz doble se cuenta por dos. Una ecuación cuadrática se puede descomponer en una ecuación equivalente
Fórmula cuadrática pq
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Aunque esta ecuación cuadrática sólo tiene una solución, ten en cuenta que a menudo habrá dos soluciones, y a veces no habrá ninguna solución (real). Para entender por qué ocurre esto, puede ser útil observar las gráficas de algunas ecuaciones cuadráticas. Como se ve a continuación, éstas toman la forma de parábolas, y los lugares en los que estas parábolas se cruzan con el eje \(x\) (horizontal) son las soluciones de la ecuación (ya que es cuando la ecuación es igual a \(0\)).
La primera imagen de abajo es un ejemplo en el que la parábola sólo cruza el eje \(x\) una vez, y por lo tanto sólo hay una solución (esto es en realidad un gráfico de \(y = x^2\), aunque no se incluyen escalas en los ejes). La segunda imagen es un ejemplo en el que la parábola interseca el eje \(x\) dos veces, y por lo tanto hay dos soluciones, y finalmente la tercera imagen es un ejemplo en el que la parábola no interseca el eje \(x\) en absoluto – y por lo tanto no hay soluciones.
Factorización de ecuaciones cuadráticas
Antes de aprender a resolver ecuaciones cuadráticas, recordemos algunos datos sobre las ecuaciones cuadráticas. La palabra “cuadrática” tiene su origen en la palabra “quad” y su significado es “cuadrado”. Significa que la ecuación cuadrática tiene una variable elevada a 2 como término de mayor potencia. La forma estándar de una ecuación cuadrática viene dada por la ecuación ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Sabemos que cualquier valor(es) de x que satisface la ecuación se conoce como solución (o) raíz de la ecuación y el proceso de encontrar los valores de x que satisfacen la ecuación ax2 + bx + c = 0 se conoce como resolución de ecuaciones cuadráticas.
Hay diferentes métodos utilizados para resolver ecuaciones cuadráticas. Pero el método más popular es la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la factorización. Conozcamos aquí todos los métodos en detalle junto con algunos ejemplos resueltos.
Resolver ecuaciones cuadráticas significa encontrar un valor (o) valores de la variable que satisfagan la ecuación. El valor o valores que satisfacen la ecuación cuadrática se conocen como sus raíces (o) soluciones (o) ceros. Como el grado de la ecuación cuadrática es 2, puede tener un máximo de 2 raíces. Por ejemplo, se puede ver fácilmente que x = 1 y x = 2 satisfacen la ecuación cuadrática x2 – 3x + 2 = 0 (puedes sustituir cada uno de los valores en esta ecuación y comprobarlo). Por tanto, x = 1 y x = 2 son las raíces de x2 – 3x + 2 = 0. Pero, ¿cómo encontrarlas si no están dadas? Hay diferentes formas de resolver ecuaciones cuadráticas.
Completar el cuadrado
Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas en la última sección completando el cuadrado, seguimos siempre los mismos pasos. Al final de la serie de ejercicios, te habrás preguntado “¿no hay una forma más fácil de hacer esto?”. La respuesta es “sí”. Los matemáticos buscan patrones cuando hacen las cosas una y otra vez para facilitar su trabajo. En este apartado deduciremos y utilizaremos una fórmula para encontrar la solución de una ecuación cuadrática.
Ya hemos visto cómo resolver una fórmula para una variable específica “en general”, de modo que haríamos los pasos algebraicos una sola vez, y luego usaríamos la nueva fórmula para encontrar el valor de la variable específica. Ahora recorreremos los pasos para completar el cuadrado utilizando la forma general de una ecuación cuadrática para resolver una ecuación cuadrática para x.
Para utilizar la fórmula cuadrática, sustituimos los valores de a, b y c de la forma estándar en la expresión del lado derecho de la fórmula. Luego simplificamos la expresión. El resultado es el par de soluciones de la ecuación cuadrática.