Fórmula del método determinante
Ahora lo que hay que notar en estas dos expresiones es que los denominadores (a1b2 – a2b1) son iguales y que los términos del denominador provienen todos de la matriz de coeficientes. Además, si a1b2 – a2b1 es cero, el sistema no puede tener solución porque no podemos dividir por cero.
Así que resulta que este número a1b2 – a2b1 es bastante importante, lo suficiente como para recibir un nombre, el determinante. Y resulta que esta característica es válida para matrices de cualquier tamaño: Si el determinante de una matriz de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución. Otra forma de decirlo es: Las ecuaciones no son linealmente independientes.
Si el determinante de una matriz es cero, el sistema lineal de ecuaciones que representa no tiene solución. En otras palabras, el sistema de ecuaciones contiene al menos dos ecuaciones que no son linealmente independientes.
En el ejemplo superior, el sistema lineal representado por la matriz no es linealmente independiente porque una fila puede formarse aplicando una operación lineal sobre la otra. Por ejemplo, si la fila superior se multiplica por -1, el resultado sería la fila inferior. En realidad, sólo hay una información para encontrar dos variables, por lo que el sistema no se puede resolver, y esto lo indica el determinante cero.
Cómo resolver determinantes 3×3
Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por múltiples métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss, uso de la inversa de una matriz y graficación. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más apropiados en determinadas situaciones. En esta sección, estudiaremos dos estrategias más para resolver sistemas de ecuaciones.
Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible, utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. A veces se envían señales o mensajes seguros codificados en una matriz. Los datos sólo pueden descifrarse con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se describen en esta sección.
Resolución de ecuaciones de 3 variables mediante determinantes
La regla de Cramers es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales donde hay la misma cantidad de incógnitas que de ecuaciones en el sistema. La técnica consiste en un conjunto de ecuaciones que involucran determinantes y cocientes para obtener el único conjunto de soluciones de un sistema lineal.
A lo largo de esta lección nos centraremos en explicar el método de resolución de un sistema que llamaremos regla de Cramers 3×3 y regla de Cramers 2×2, esto significa que nos centraremos en los casos en los que tengamos un sistema de ecuaciones con 3 ecuaciones para 3 incógnitas (n=3) o un sistema con 2 ecuaciones para 2 incógnitas (n=2). La razón es que la regla de Cramers no es práctica cuando un sistema es de orden superior a 3, otros métodos, como la resolución de un sistema lineal con matrices utilizando la eliminación de Gauss, o simplemente la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por sustitución son mucho más efectivos computacionalmente para trabajar con un sistema lineal. Aun así, la regla de Cramers es una pieza importante del álgebra lineal que hay que tener en cuenta debido a su rigor matemático y a la profunda comprensión de la transcripción de sistemas lineales en matrices, y viceversa, cuando dichos sistemas tienen soluciones únicas.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes pdf
Una matriz cuadrada de números o variables encerrada entre líneas verticales se llama determinante. Un determinante se diferencia de una matriz en que un determinante tiene un valor numérico, mientras que una matriz no lo tiene. El siguiente determinante tiene dos filas y dos columnas.
Para resolver este sistema, se crean tres determinantes. Uno se llama el determinante del denominador, etiquetado D; otro es el determinante del numerador x, etiquetado D x; y el tercero es el determinante del numerador y, etiquetado D y .
Muchas veces, la búsqueda de soluciones mediante el uso de determinantes se denomina Regla de Cramer, en honor al matemático que ideó este método. La regla de Cramer no se puede considerar un “atajo”, pero es una forma bastante clara de resolver sistemas de ecuaciones utilizando determinantes.