Preguntas y respuestas de ecuaciones diferenciales exactas pdf
\v + xfrac {{dv}} {{dx}} = \frac{{ – 2v{x^2}}{{{x^2}} = \frac{ – 2v}}{{1 + 3{v^2}{x^2}}. + 3{v^2}{x^2}} = \frac{{2v}}{1 + 3{v^2}}&\franja derecha \frac{{dv}{dx}} = – v – \frac{2v}}{1 + 3{v^2}}\frac = \frac{{3v – 3{v^3}}{1 + 3{v^2}}\qqqquad;\qquad; = \frac{{3v(1 + {v^2}}}{1 + 3{v^2}}&\qqad \frac{1 + 3{v^2}}{v(1 + {v^2}}dv = – 3{frac{dx}} {x}end{align}}]
\N – Izquierda( {\frac{1 + 3t}}{1 + t}} \cdot \frac{1}{2t}} \cdot) dt = – 3\frac{{dx}}{x}\\N-flecha derecha \N-cuadrado( {\frac{1}{1 + t}} + \frac{1}{2t}} \N-derecha)dt = – 3\frac{{dx}}{x}end{align}]
\N – [\N – inicio{align}&\N -; \ln (1 + t) + \frac{1}{2}\ln t = – 3\ln x + \ln C\\& \Rightarrow \quad \sqrt t (1 + t){x^3} = C\&Rightarrow \quad v(1 + {v^2}){x^3} = C\&Rightarrow \quad y({x^2} + {y^2}) = Cend{align}]
\N – [\N – Inicio{align} & \qquad \N -frac{{parcial f}} {{parcial y}} = {x^2} + \phi ‘(y) = {x^2} + 3{y^2}\&\a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la izquierda + C’ & & & \ldots (2)\nd{align}]
Preguntas y respuestas sobre ecuaciones diferenciales no exactas
A estas alturas deberías estar bien familiarizado con el proceso de diferenciación total, es decir, sabes cómo tomar derivadas totales de una función en términos de una determinada variable, con respecto a esa variable. Pero dependiendo de nuestro nivel de estudios y de los temas que estemos trabajando, te encontrarás con funciones que están definidas en términos de más de una variable, e incluso a veces, una de estas variables es una función en términos de la otra. En estos casos, la diferenciación requerirá que trabajes con las derivadas de las distintas variables de diferentes maneras, dependiendo de la variable con la que estés diferenciando.
Para este tipo de funciones definidas en términos de múltiples variables, también se pueden tomar derivadas parciales. La diferenciación parcial significa que seleccionarás una de las variables en las que está definida la función, y diferenciarás sólo respecto a este valor particular tomando cualquier otra variable involucrada como si fuera una constante. Puede que ya estés familiarizado con este proceso (o quizás incluso sepas cómo resolver estas operaciones), por si acaso, haremos un repaso rápido para esta sección, para que las fórmulas y el proceso de ecuaciones exactas quede bien establecido más adelante.
Ecuación diferencial de Bernoulli
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En las aplicaciones físicas, las funciones I y J suelen ser no sólo continuas, sino incluso continuamente diferenciables. El Teorema de Schwarz nos proporciona entonces un criterio necesario para la existencia de una función potencial. Para ecuaciones diferenciales definidas en conjuntos simplemente conexos el criterio es incluso suficiente y obtenemos el siguiente teorema:
Dada una ecuación diferencial exacta definida en algún subconjunto simplemente conexo y abierto D de R2 con una función potencial F, una función diferenciable f con (x, f(x)) en D es una solución si y sólo si existe un número real c para que
{\displaystyle {\parcial I sobre \parcial x}+{dy sobre dx}\left({\parcial I sobre \parcial y}+{parcial J sobre \parcial x}+{parcial J sobre \parcial y}{dy sobre dx}\right)+{d^{2}y sobre dx^{2}}left(J\left(x,y\right)\right)=0}
Ecuación diferencial lineal
Sea que las funciones \(P\left( {x,y} \right)\Ny \N(Q\left( {x,y} \right)\Ntienen derivadas parciales continuas en un cierto dominio \N(D.\N-La ecuación diferencial \N(P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy = 0\Nes una ecuación exacta si y sólo si
En el paso \(3,\) podemos integrar la segunda ecuación sobre la variable \(y\) en lugar de integrar la primera ecuación sobre \(x.\) Después de la integración tenemos que encontrar la función desconocida \({\psi \left( x \right)}.\N)
\frac{{parcial Q}}{parcial x}}= \frac{parcial }{parcial x}}left( {{x^2} + 3{y^2}} \ right) = 2x,\; \frac{parcial P}{parcial y}} = \frac{parcial }{parcial y}}left( {2xy} \ right) = 2x.\f]
\[\frac{{parcial u}} {{parcial y}} = \frac{{parcial}} {{parcial y}}left[ {{x^2}y + \varphi \left( y \right)} \right] = {x^2} + 3{y^2},\N-; \N-flecha derecha {x^2} + \varphi’\a la izquierda( y \a la derecha) = {x^2} + 3{y^2},\\N;\N-flecha derecha \N-varphi’\Nizquierda( y \Nderecha) = 3{y^2}.\N-flecha derecha]
\N – [\frac{{parcial Q}} {{parcial x}} = \frac{parcial }{{parcial x}}left( {3{y^2}} – x – 2} \\N – derecha) = – 1,\N-; \N – \N – P} {{parcial y}} = \frac{parcial} {{parcial y}}left( {6{x^2}} – y + 3} \N – 1. \]