Cómo determinar si una ecuación diferencial es homogénea o no
Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación que contiene una diferenciación y una función, con un conjunto de variables. La función f(x, y) en una ecuación diferencial homogénea es una función homogénea tal que f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de una ecuación diferencial homogénea es f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0.
Una ecuación diferencial que contiene una función homogénea se llama ecuación diferencial homogénea. La función f(x, y) se llama función homogénea si f(λx, λy) = λnf(x, y), para cualquier constante no nula λ. La forma general de la ecuación diferencial homogénea es de la forma f(x, y).dy + g(x, y).dx = 0. La ecuación diferencial homogénea tiene el mismo grado para las variables x, y dentro de la ecuación.
La ecuación diferencial homogénea no tiene un término constante dentro de la ecuación. La ecuación diferencial lineal tiene un término constante. La solución de una ecuación diferencial lineal es posible si somos capaces de eliminar el término constante de la ecuación diferencial lineal y transformarla en una ecuación diferencial homogénea. Además, la ecuación diferencial homogénea no tiene las variables x, y dentro de ninguna función especial como las funciones logarítmicas, o trigonométricas.
Ecuación diferencial homogénea de segundo orden
Las ecuaciones diferenciales homogéneas son iguales a 0Las ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden tienen la forma ??ay”+by’+cy=0?? La ecuación diferencial es de segundo orden porque incluye la segunda derivada de ??y??. Es homogénea porque el lado derecho es “0”. Si el lado derecho de la ecuación es distinto de cero, la ecuación diferencial se llama no homogénea.
Lo primero que queremos aprender sobre las ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden es cómo encontrar sus soluciones generales. La fórmula que utilizaremos para la solución general dependerá de los tipos de raíces que encontremos para la ecuación diferencial.Para encontrar las raíces, primero haremos sustituciones para la función “y” en términos de la variable “r”. Me gusta decir que el número de “marcas” en la función “y” es igual al exponente que pondremos en la variable “r”. En otras palabras
Al hacer estas sustituciones en la ecuación diferencial obtenemos: ar^2+br+c=0??? Una vez que hemos sustituido, tenemos la forma estándar de una ecuación cuadrática y podemos factorizar el lado izquierdo para resolver las raíces de la ecuación.
Calculadora de funciones homogéneas
se convierte en una ecuación separable moviendo el origen del sistema de coordenadas al punto de intersección de las rectas dadas. Si estas rectas son paralelas, la ecuación diferencial se transforma en ecuación separable utilizando el cambio de variable:
Es fácil ver que los polinomios \(P\left( {x,y} \right)\N y \(Q\left( {x,y} \right),\N respectivamente, en \N(dx\) y \N(dy,\N) son funciones homogéneas de primer orden. Por lo tanto, la ecuación diferencial original también es homogénea.
\N-[int {\frac{{du}} {{u\left( {\ln u – 1} \right)}} = \int {\frac{{dx}}{x}} \N – Flecha derecha \N -int {{frac} {{izquierda( {ln u} {derecha)}} {{ln u – 1}} = \int {{frac} {{x}} {x} .\N – Flecha derecha \N -int {\frac( {ln u – 1} \ derecha)}{{ln u – 1}} = \int {\frac{dx}{x}} .\]
\[\ln\left| {\ln u – 1} \N – derecha = \ln \ln izquierda| x \ln derecha| + \ln {C_1},\; \ln flecha derecha \ln izquierda| {\ln u – 1} \right| = \ln \left| {{C_1}x} \right|,\\\\️; \rightarrow \ln u – 1 = \pm {C_1}x,\️; \rightarrow \ln u = 1 \pm {C_1}x;\️; \text{or};\️;u = {e^{1 \pm {C_1}x}.\️]
Comprobar la calculadora de ecuaciones diferenciales homogéneas
Por otra parte, una ecuación diferencial es homogénea si es una función homogénea de la función desconocida y sus derivadas. En el caso de las ecuaciones diferenciales lineales, esto significa que no hay términos constantes. Las soluciones de cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de cualquier orden pueden deducirse por integración a partir de la solución de la ecuación homogénea obtenida al eliminar el término constante.
El término homogéneo fue aplicado por primera vez a las ecuaciones diferenciales por Johann Bernoulli en la sección 9 de su artículo de 1726 De integraionibus aequationum differentialium (Sobre la integración de ecuaciones diferenciales)[2].
Una ecuación diferencial lineal es homogénea si es una ecuación lineal homogénea en la función desconocida y sus derivadas. Se deduce que, si φ(x) es una solución, también lo es cφ(x), para cualquier constante (no nula) c. Para que esta condición se cumpla, cada término no nulo de la ecuación diferencial lineal debe depender de la función desconocida o de cualquier derivada de ella. Una ecuación diferencial lineal que no cumple esta condición se llama inhomogénea.