Identificador de ecuaciones homogéneas
En caso contrario, una ecuación diferencial es homogénea si es una función homogénea de la función desconocida y sus derivadas. En el caso de las ecuaciones diferenciales lineales, esto significa que no hay términos constantes. Las soluciones de cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de cualquier orden pueden deducirse por integración a partir de la solución de la ecuación homogénea obtenida al eliminar el término constante.
El término homogéneo fue aplicado por primera vez a las ecuaciones diferenciales por Johann Bernoulli en la sección 9 de su artículo de 1726 De integraionibus aequationum differentialium (Sobre la integración de ecuaciones diferenciales)[2].
Una ecuación diferencial lineal es homogénea si es una ecuación lineal homogénea en la función desconocida y sus derivadas. Se deduce que, si φ(x) es una solución, también lo es cφ(x), para cualquier constante (no nula) c. Para que esta condición se cumpla, cada término no nulo de la ecuación diferencial lineal debe depender de la función desconocida o de cualquier derivada de ella. Una ecuación diferencial lineal que no cumple esta condición se llama inhomogénea.
Ecuación diferencial lineal homogénea
Las ecuaciones diferenciales homogéneas son iguales a 0Las ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden tienen la forma ??ay”+by’+cy=0?? La ecuación diferencial es de segundo orden porque incluye la segunda derivada de ??y??. Es homogénea porque el lado derecho es “0”. Si el lado derecho de la ecuación es distinto de cero, la ecuación diferencial se llama no homogénea.
Lo primero que queremos aprender sobre las ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden es cómo encontrar sus soluciones generales. La fórmula que utilizaremos para la solución general dependerá de los tipos de raíces que encontremos para la ecuación diferencial.Para encontrar las raíces, primero haremos sustituciones para la función “y” en términos de la variable “r”. Me gusta decir que el número de “marcas” en la función “y” es igual al exponente que pondremos en la variable “r”. En otras palabras
Al hacer estas sustituciones en la ecuación diferencial obtenemos: ar^2+br+c=0??? Una vez que hemos sustituido, tenemos la forma estándar de una ecuación cuadrática y podemos factorizar el lado izquierdo para resolver las raíces de la ecuación.
Ecuación diferencial homogénea de segundo orden
Cuando se trabaja con ecuaciones diferenciales, normalmente el objetivo es encontrar una solución. En otras palabras, queremos encontrar una función (o funciones) que satisfaga la ecuación diferencial. La técnica que utilizamos para encontrar estas soluciones varía, dependiendo de la forma de la ecuación diferencial con la que estamos trabajando. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen varias características importantes que pueden ayudarnos a determinar qué método de solución utilizar. En esta sección, examinamos algunas de estas características y la terminología asociada.
Observe que \(y\) y sus derivadas aparecen en una forma relativamente simple. Se multiplican por funciones de \(x\), pero no se elevan a ninguna potencia por sí mismas, ni se multiplican juntas. Como se ha comentado anteriormente, se dice que las ecuaciones de primer orden con características similares son lineales. Lo mismo ocurre con las ecuaciones de segundo orden. Obsérvese también que todos los términos de esta ecuación diferencial implican o bien \(y\) o bien una de sus derivadas. No hay términos que impliquen sólo funciones de \(x\). Las ecuaciones como ésta, en las que cada término contiene \(y\) o una de sus derivadas, se llaman homogéneas.
Ecuación diferencial lineal
La función homogénea es una función con comportamiento de escala multiplicativa. La función f(x, y), si puede expresarse escribiendo x = kx, e y = ky para formar una nueva función f(kx, ky) = knf(x, y) tal que la constante k puede tomarse como la enésima potencia del exponente, se llama función homogénea.
La función homogénea es una función con comportamiento de escala multiplicativa. Aquí, si cada variable de la ecuación se multiplica por una constante, entonces toda la función se multiplica también por un exponente del valor de la constante. Consideremos una función f(x, y), y si cada variable se multiplica con una constante K, entonces toda la expresión de la función se multiplica también con la enésima potencia de la constante k.
En las dos funciones anteriores no podemos tomar fácilmente la constante común, y por tanto las dos funciones anteriores no pueden considerarse como funciones homogéneas. Las funciones que contienen expresiones especiales que implican logaritmos o razones trigonométricas no son funciones homogéneas.
La ecuación diferencial que se forma con una función homogénea es una ecuación diferencial homogénea. La ecuación diferencial de la forma dy/dx = f(x, y) es una ecuación diferencial homogénea si la función f(x, y) es una función homogénea. Además, vamos a comprobar una definición alternativa de función homogénea antes de avanzar en la resolución de una ecuación diferencial homogénea.