Solucionador de sistemas de ecuaciones lineales
Para nuestros propósitos, la mejor solución aproximada se llama solución por mínimos cuadrados. Presentaremos dos métodos para encontrar las soluciones por mínimos cuadrados y daremos varias aplicaciones a los problemas de mejor ajuste.Comenzamos aclarando exactamente lo que entenderemos por una “mejor solución aproximada” a una ecuación matricial inconsistente Ax
El lector habrá notado que hemos tenido el cuidado de decir “las soluciones por mínimos cuadrados” en plural, y “una solución por mínimos cuadrados” utilizando el artículo indefinido. Esto se debe a que una solución por mínimos cuadrados no tiene por qué ser única: de hecho, si las columnas de A
y que nuestro modelo para estos datos afirma que los puntos deben estar en una línea. Por supuesto, estos tres puntos no se sitúan realmente en una línea, pero esto podría deberse a errores en nuestra medición. ¿Cómo podemos predecir en qué línea se supone que se encuentran?
Se convierten en números, así que no importa lo que sean, y encontramos la solución de mínimos cuadrados. La función de mejor ajuste resultante minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales de la gráfica de y
Solucionador de sistemas de ecuaciones
ResumenMuchos problemas prácticos pueden ser formulados como problemas de minimización \ell _0 con restricciones de no negatividad, que buscan las soluciones no negativas más escasas para sistemas lineales subdeterminados. Estudios recientes indican que la minimización \ell _1 es eficiente para resolver problemas de minimización \ell _0. Sin embargo, desde un punto de vista matemático, la comprensión de la relación entre la minimización \(\ell _0)- y \(\ell _1)- sigue siendo incompleta. En este trabajo, abordamos varias cuestiones teóricas asociadas a estos dos problemas. Demostramos que el teorema fundamental de complementariedad estricta de la programación lineal puede producir una condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal admita una única solución no negativa de mínima \ell _1. Esta condición conduce naturalmente a la llamada propiedad del espacio de rango (RSP) y a la propiedad del “rango de columna completo”, que en conjunto proporcionan una nueva y amplia comprensión de la equivalencia y la fuerte equivalencia entre la minimización \( \ell _0\)- y la \ell _1\1. Motivados por estos resultados, introducimos el concepto de “RSP de orden \(K\)” que resulta ser una caracterización completa de la recuperación uniforme de todos los vectores no negativos \(K\)-esparcidos. Este concepto también nos permite desarrollar una teoría de recuperación no uniforme para vectores no negativos dispersos a través de la llamada propiedad de espacio de rango débil.
Ejemplos de ecuaciones equivalentes
Laura obtuvo un máster en Matemáticas Puras en la Universidad Estatal de Michigan y una licenciatura en Matemáticas en la Universidad Estatal de Grand Valley. Tiene 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias en varias instituciones.
En esta lección, repasaremos las ecuaciones lineales y equivalentes. Luego aprenderemos a crear ecuaciones lineales equivalentes. Al final de la lección, podrás comprobar tus conocimientos con un cuestionario.
Ecuaciones linealesAntes de llegar a la creación de ecuaciones lineales equivalentes, hablemos primero de lo que son las ecuaciones lineales y lo que significa que sean equivalentes. Las ecuaciones lineales son ecuaciones algebraicas y consisten en términos que son constantes o constantes por una variable a la primera potencia. Las gráficas de las ecuaciones lineales son líneas. Estos son algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, x + 2 = 6 y 2x = 8 son ecuaciones equivalentes, porque cuando resolvemos cada una de ellas de la siguiente manera, tienen el mismo conjunto de soluciones:
Se dice que dos ecuaciones lineales son equivalentes si tienen la misma
En las ciencias de los sistemas, la equivalencia de sistemas es el comportamiento de un parámetro o componente de un sistema de forma similar a un parámetro o componente de un sistema diferente. La similitud significa que, desde el punto de vista matemático, los parámetros y componentes serán indistinguibles entre sí. La equivalencia puede ser muy útil para entender cómo funcionan los sistemas complejos.
Los sistemas equivalentes pueden utilizarse para cambiar sistemas mecánicos, térmicos y de fluidos grandes y costosos por un sistema eléctrico sencillo y más barato. A continuación, el sistema eléctrico puede analizarse para validar que la dinámica del sistema funcionará como se ha diseñado. Se trata de una forma preliminar y económica de que los ingenieros comprueben que su complejo sistema funciona como esperan.
Estas pruebas son necesarias cuando se diseñan nuevos sistemas complejos que tienen muchos componentes. Las empresas no quieren gastar millones de dólares en un sistema que no funcione como esperan. Con la técnica del sistema equivalente, los ingenieros pueden verificar y demostrar a la empresa que el sistema funcionará. Esto reduce el factor de riesgo que la empresa asume en el proyecto.