Ejemplos de ecuaciones paramétricas con soluciones
La ecuación rectangular \(y=f(x)\Nfunciona bien para algunas formas como una parábola con un eje de simetría vertical, pero en el apartado anterior nos hemos encontrado con varias formas que no se pueden trazar de esta manera. (Para trazar una elipse con el procedimiento anterior, tenemos que trazar la “parte superior” y la “parte inferior” por separado).
Sean \(f\) y \(g\) funciones continuas sobre un intervalo \(I\). El conjunto de todos los puntos \(\big(x,y\big) = \big(f(t),g(t)\big)\big) en el plano cartesiano, al variar \(t\) sobre \(I\), es la gráfica de las ecuaciones paramétricas \(x=f(t)\big) y \(y=g(t)\big), donde \(t\) es el parámetro. Una curva es una gráfica junto con las ecuaciones paramétricas que la definen.
Esta es una definición formal de la palabra curva. Cuando una curva se encuentra en un plano (como el plano cartesiano), se suele denominar curva plana. Los ejemplos nos ayudarán a entender los conceptos introducidos en la definición.
Trazamos las gráficas de las ecuaciones paramétricas de forma muy parecida a como trazamos las gráficas de funciones como \(y=f(x)\N): hacemos una tabla de valores, trazamos puntos y luego conectamos estos puntos con una curva de aspecto “razonable”. La figura 9.20(a) muestra dicha tabla de valores; observe que tenemos 3 columnas.
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Hasta este momento (tanto en Cálculo I como en Cálculo II) hemos visto casi exclusivamente funciones de la forma \(y = f\left( x \right)\) o \(x = h\left( y \right)\Ny casi todas las fórmulas que hemos desarrollado requieren que las funciones estén en una de estas dos formas. El problema es que no todas las curvas o ecuaciones que queremos ver se ajustan fácilmente a esta forma.
\N – [\N – y & = \N – {{r^2}} – {x^2}} & \N – espacio de 0,15 pulgadas & \N – izquierda( {{mbox{top}} \N – derecha) \N – espacio de 0,75 pulgadas. 75in} & x & = \qrt {{r^2}} – {y^2}} & \hspace{0.15in} & \left( {{mbox}{lateral derecho}} \right)\ y & = – \qrt {{r^2}} – {x^2} & \hspace{0. 15in} & \left( {{mbox{bottom}} \right)\hspace{0.75in} & x & = – \sqrt {{r^2} – {y^2}} & \hspace{0.15in} & \left( {{mbox{left side}} \right)\end{align*}]
Ecuación paramétrica de una línea
Las ecuaciones paramétricas son ecuaciones que expresan dos variables diferentes en términos de una tercera variable llamada parámetro. Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas vienen en pares. El siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas describe x, distancia, e y, altura, en función de t, tiempo. En este ejemplo el parámetro es el tiempo.
Para graficar este conjunto de ecuaciones paramétricas en el intervalo que va desde el tiempo cero hasta el tiempo 2.5, crea una tabla de valores. A continuación, determine los valores de x e y sustituyendo el valor de t en sus respectivas ecuaciones.
La orientación de la curva plana está determinada por los valores crecientes del parámetro. Por lo tanto, la orientación de la gráfica de nuestro ejemplo comienza en t = 0 y continúa hacia la derecha a medida que los valores de t aumentan hasta t = 2,5, como muestran las flechas de la gráfica.
El trazado de puntos de ecuaciones paramétricas funciona bien cuando se da un intervalo pequeño y finito para el parámetro. Cuando el intervalo no es pequeño y finito, el trazado de puntos puede ser muy tedioso. Esta situación se maneja eliminando el parámetro. Este concepto se discute como un tema separado.
Escribir ecuaciones paramétricas calculadora
En matemáticas, una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros[1]. Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que componen un objeto geométrico como una curva o superficie, en cuyo caso las ecuaciones se llaman colectivamente una representación paramétrica o parametrización (alternativamente deletreada como parametrización) del objeto[1][2][3].
forman una representación paramétrica del círculo unitario, donde t es el parámetro: Un punto (x, y) está en el círculo unitario si y sólo si hay un valor de t tal que estas dos ecuaciones generan ese punto. A veces las ecuaciones paramétricas para las variables escalares de salida individuales se combinan en una única ecuación paramétrica en vectores:
Además de las curvas y superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir colectores y variedades algebraicas de mayor dimensión, siendo el número de parámetros igual a la dimensión del colector o variedad, y el número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera el colector o variedad (para las curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para las superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).