¿Cuántas soluciones tiene esta ecuación lineal?
Esta extraña frase no es exclusiva de las matemáticas. En el pasado he tenido alumnos que podían decir a sus amigos en inglés corriente: “Two of my professors are the same person”. Lo que, por supuesto, significa realmente que sólo hay un profesor, pero hay dos descripciones de ese profesor: mi profesor de matemáticas y mi profesor de filosofía.
Si dos líneas son coplanarias y no paralelas, entonces se cruzan exactamente en un punto. Esa es exactamente una solución. Si no son coplanarias, no tendrán ninguna intersección y, por tanto, ninguna solución.
Si las coordenadas abarcan algo más que los números reales, entonces es posible que dicho sistema tenga exactamente dos soluciones. Por ejemplo, #RR_oo# (la recta proyectiva) o #ZZ_2# (el campo con dos elementos).
¿Cuántas soluciones puede tener un sistema de ecuaciones?
Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
Recordemos que una ecuación lineal se grafica como una recta, lo que indica que todos los puntos de la recta son soluciones de esa ecuación lineal. Hay un número infinito de soluciones. Como vimos en la última sección, si tienes un sistema de ecuaciones lineales que se cruzan en un punto, este punto es una solución del sistema. ¿Qué ocurre si las líneas no se cruzan nunca, como en el caso de las líneas paralelas? ¿Cómo describirías las soluciones de ese tipo de sistema? En esta sección exploraremos los tres posibles resultados de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
Recuerda que la solución de un sistema de ecuaciones es el valor o los valores que se cumplen para todas las ecuaciones del sistema. Hay tres resultados posibles para las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las gráficas de las ecuaciones de un sistema pueden indicar cuántas soluciones existen para ese sistema. Observa las siguientes imágenes. Cada una de ellas muestra dos líneas que componen un sistema de ecuaciones.
Cuándo un sistema lineal no tiene solución
Esta lección examinará los 3 tipos de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución, ninguna solución o infinitas soluciones. Las pendientes y los intersticios de las rectas determinarán el tipo de solución que tendrá el sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales tiene 1 solución si las rectas tienen diferentes pendientes independientemente de los valores de sus intersecciones y. Por ejemplo, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales tendrán una solución. Mostramos las pendientes de cada sistema en azul. Observa que las pendientes son diferentes.1. y = (-2/9)x + 6 y = 2x + – 3 2. y = -8x + 6 y = 8x + -103. y = 0.5x + 3 y = 6x + 3
Si graficamos el primer sistema a la izquierda, puedes ver la solución o el punto de intersección con el punto naranja. Si no entiendes cómo hemos graficado las rectas de abajo, ve a las lecciones sobre la graficación de la pendiente.
Un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución si las rectas tienen la misma pendiente pero diferentes intersecciones y. Por ejemplo, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales no tienen solución. Mostramos las pendientes de cada sistema en rojo y las intersecciones en azul. Observa que la pendiente es la misma, pero las intersecciones y son diferentes.4. y = -2x + 1 y = -2x – 2 5. y = 3x + 5 y = 3x + -8 6. y = (2/5)x + -6 y = (2/5)x + 1
Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal en dos variables
En Resolución de ecuaciones lineales aprendimos a resolver ecuaciones lineales con una variable. Ahora trabajaremos con dos o más ecuaciones lineales agrupadas, lo que se conoce como sistema de ecuaciones lineales.
Una ecuación lineal en dos variables, como \(2x+y=7\), tiene un número infinito de soluciones. Su gráfica es una recta. Recuerda que cada punto de la recta es una solución de la ecuación y que cada solución de la ecuación es un punto de la recta.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones de ambas ecuaciones. En otras palabras, buscamos los pares ordenados \((x,y)\Nque hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. Son las soluciones de un sistema de ecuaciones.
Para determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de dos ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el par ordenado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, es una solución del sistema.
La gráfica de una ecuación lineal es una recta. Cada punto de la recta es una solución de la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones, graficaremos dos rectas. Así podremos ver todos los puntos que son soluciones de cada ecuación. Y, al encontrar lo que las rectas tienen en común, encontraremos la solución del sistema.